jak policzyc funkcje odwrotna do tej?
\(\displaystyle{ y=\frac{1-2e^{\arctan (5x+1)}}{1+2e^{\arctan (5x+1)}}}\)
Funkcja odwrotna
-
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 27 sty 2013, o 01:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
Funkcja odwrotna
Ostatnio zmieniony 27 sty 2013, o 02:17 przez Ponewor, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach[latex] [/latex] .
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach
-
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
Funkcja odwrotna
Podstawmy na chwilę
\(\displaystyle{ 2e^{\arctan(5x+1)}=t}\)
Mamy wtedy
\(\displaystyle{ y=\frac{1-t}{1+t}}\)
\(\displaystyle{ y(1+t)=1-t}\)
\(\displaystyle{ y+ty=1-t}\)
\(\displaystyle{ t(1+)=1-y}\)
\(\displaystyle{ t=\frac{1-y}{1+y}}\)
Wróćmy do podstawienia
\(\displaystyle{ 2e^{\arctan(5x+1)}=\frac{1-y}{1+y}}\)
\(\displaystyle{ e^{\arctan(5x+1)}=\frac{1-y}{2(1+y)}}\)
\(\displaystyle{ \arctan(5x+1)=\ln\frac{1-y}{2(1+y)}}\)
\(\displaystyle{ 5x+1=\tan\ln\frac{1-y}{2(1+y)}}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{\tan\ln\frac{1-y}{2(1+y)}-1}{5}}\)
Zamieniasz oczywiście miejscami literki \(\displaystyle{ x}\) na \(\displaystyle{ y}\) (żeby było "normalnie").
Po drodze trzeba sprawdzić warunki i ograniczenia (ewentualne dzielenie przez zero, logarytmowanie ujemnych itp.).
Ale patrząc tak na szybko, wykładnicza jest monotoniczna, arcus tangens też, \(\displaystyle{ y}\) musi być różny od -1 (a to niemożliwe), więc wszystko powinno być OK.
Ale sprawdź.
\(\displaystyle{ 2e^{\arctan(5x+1)}=t}\)
Mamy wtedy
\(\displaystyle{ y=\frac{1-t}{1+t}}\)
\(\displaystyle{ y(1+t)=1-t}\)
\(\displaystyle{ y+ty=1-t}\)
\(\displaystyle{ t(1+)=1-y}\)
\(\displaystyle{ t=\frac{1-y}{1+y}}\)
Wróćmy do podstawienia
\(\displaystyle{ 2e^{\arctan(5x+1)}=\frac{1-y}{1+y}}\)
\(\displaystyle{ e^{\arctan(5x+1)}=\frac{1-y}{2(1+y)}}\)
\(\displaystyle{ \arctan(5x+1)=\ln\frac{1-y}{2(1+y)}}\)
\(\displaystyle{ 5x+1=\tan\ln\frac{1-y}{2(1+y)}}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{\tan\ln\frac{1-y}{2(1+y)}-1}{5}}\)
Zamieniasz oczywiście miejscami literki \(\displaystyle{ x}\) na \(\displaystyle{ y}\) (żeby było "normalnie").
Po drodze trzeba sprawdzić warunki i ograniczenia (ewentualne dzielenie przez zero, logarytmowanie ujemnych itp.).
Ale patrząc tak na szybko, wykładnicza jest monotoniczna, arcus tangens też, \(\displaystyle{ y}\) musi być różny od -1 (a to niemożliwe), więc wszystko powinno być OK.
Ale sprawdź.
-
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
Funkcja odwrotna
Zgubiłem tam \(\displaystyle{ y}\), powinno być
\(\displaystyle{ t(1+y)=1-y}\)
bo w
\(\displaystyle{ y+ty=1-t}\)
przenoszę \(\displaystyle{ y}\) z lewej na prawą, a \(\displaystyle{ -t}\) z prawej na lewą i wyciągam \(\displaystyle{ t}\) przed nawias.
\(\displaystyle{ t(1+y)=1-y}\)
bo w
\(\displaystyle{ y+ty=1-t}\)
przenoszę \(\displaystyle{ y}\) z lewej na prawą, a \(\displaystyle{ -t}\) z prawej na lewą i wyciągam \(\displaystyle{ t}\) przed nawias.