Funkcja odwrotna

[kacper098]

jak policzyc funkcje odwrotna do tej?

\(\displaystyle{ y=\frac{1-2e^{\arctan (5x+1)}}{1+2e^{\arctan (5x+1)}}}\)

[chris_f]

Podstawmy na chwilę
\(\displaystyle{ 2e^{\arctan(5x+1)}=t}\)
Mamy wtedy
\(\displaystyle{ y=\frac{1-t}{1+t}}\)
\(\displaystyle{ y(1+t)=1-t}\)
\(\displaystyle{ y+ty=1-t}\)
\(\displaystyle{ t(1+)=1-y}\)
\(\displaystyle{ t=\frac{1-y}{1+y}}\)
Wróćmy do podstawienia
\(\displaystyle{ 2e^{\arctan(5x+1)}=\frac{1-y}{1+y}}\)
\(\displaystyle{ e^{\arctan(5x+1)}=\frac{1-y}{2(1+y)}}\)
\(\displaystyle{ \arctan(5x+1)=\ln\frac{1-y}{2(1+y)}}\)
\(\displaystyle{ 5x+1=\tan\ln\frac{1-y}{2(1+y)}}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{\tan\ln\frac{1-y}{2(1+y)}-1}{5}}\)
Zamieniasz oczywiście miejscami literki \(\displaystyle{ x}\) na \(\displaystyle{ y}\) (żeby było "normalnie").
Po drodze trzeba sprawdzić warunki i ograniczenia (ewentualne dzielenie przez zero, logarytmowanie ujemnych itp.).
Ale patrząc tak na szybko, wykładnicza jest monotoniczna, arcus tangens też, \(\displaystyle{ y}\) musi być różny od -1 (a to niemożliwe), więc wszystko powinno być OK.

Ale sprawdź.

[kacper098]

o co tu chodzi?

\(\displaystyle{ y+ty=1-t}\)
\(\displaystyle{ t(1+)=1-y}\)

[chris_f]

Zgubiłem tam \(\displaystyle{ y}\), powinno być
\(\displaystyle{ t(1+y)=1-y}\)
bo w
\(\displaystyle{ y+ty=1-t}\)
przenoszę \(\displaystyle{ y}\) z lewej na prawą, a \(\displaystyle{ -t}\) z prawej na lewą i wyciągam \(\displaystyle{ t}\) przed nawias.