równanie trygonometryczne

[Dominik J]

Rozwiąż równanie

\(\displaystyle{ 2\cos^2x + 4\sin^2x=3}\)

Bardzo proszę o pomoc.

[piasek101]

Jedynka trygonometryczna.

[Dominik J]

Mało precyzyjnie się wyraziłem. Potrafię przekształcić równanie do postaci
\(\displaystyle{ \sin^2 x=\frac{1}{2}}\)
i dalej
\(\displaystyle{ \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2} \ \vee \ \sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin x=\sin \frac{\pi}{4} \ \vee \ \sin x=\sin (-\frac{\pi}{4})}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4}+2k\pi, \ gdzie \ k\in C \ \vee \ x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi, \ gdzie \ k\in C \ \vee x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi, \ gdzie \ k\in C \ \vee \ x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi, \ gdzie \ k\in C}\)

W książce z jest odpowiedź:

\(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4}+k\pi, \ gdzie \ k\in C \ \vee \ x=-\frac{\pi}{4}+k\pi, \ gdzie \ k\in C}\)

O co chodzi, jak uzyskać coś takiego?

[piasek101]

Unikaj takiej metody - bo Ci nie idzie. Looknij tu www.matematyka.pl/233864.htm

[Dominik J]

Czy mogłbyś mi rozpisać całe rozwiązanie tego równania odpowiednimi metodami i wogole? Bardzo mi na tym zależy, a z linku który mi podałeś wywnioskowałem tylko ze trzeba narysować wykres. Czyli dla każdego równania powinnienem rysować wykres?

[piasek101]

Jeśli już masz równanie typu (jedna funkcja) = (liczba) to tak - rysuj wykres i poziomą. Co doi rozpisania - piszę z TV i dłużej to trwa - odpuszczę sobie.

[Vardamir]

Dzięki rysunkowi trudniej popełnić błędy. Ale swoją drogą Twoje rozwiązanie jest dokładnie takie jak w książce. Te cztery warunki zwijają się do dwóch w odpowiedziach.

[Dominik J]

Ok dzięki ale czy mogłbyś mi jeszcze powiedzieć czy do tego momentu jest dobrze?
\(\displaystyle{ \sin^2 x=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2} \ \vee \ \sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\)-- 26 sty 2013, o 22:11 --

Dzięki rysunkowi trudniej popełnić błędy. Ale swoją drogą Twoje rozwiązanie jest dokładnie takie jak w książce. Te cztery warunki zwijają się do dwóch w odpowiedziach.

Czy mogłbyś mi powiedzieć jak takie "zwijanie" zrobić? Jakoś algebraicznie czy wykorzystując wykres?

[Vardamir]

Weźmy dla \(\displaystyle{ k,n \in \ZZ}\) :

\(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \wedge x=\frac{5\pi}{4}+2n\pi \\
x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \wedge x=\frac{\pi}{4}+2n\pi+\pi\\
x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \wedge x=\frac{\pi}{4}+(2n+1)\pi}\)

Stąd widać, że dodajemy parzyste i nieparzyste wielokrotności \(\displaystyle{ \pi}\), zatem przebiegamy po wszystkich wielokrotnościach \(\displaystyle{ \pi}\). Czyli jest to równoważne:

\(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4}+k\pi \mbox{ dla } k\in \ZZ}\)

Analogicznie dwa pozostałe.

[Dominik J]

Teraz rozumiem dzięki.