wykazanie że równanie ma rozwiązania dla przedziału

[unn4m3nd]

Witam. Mam problem z tym zadaniem:
Wykaż, że równanie \(\displaystyle{ \sin^4x + \cos^4x = m}\) ma rozwiązanie tylko dla \(\displaystyle{ m = \left\langle \frac{1}{2}; 1 \right\rangle}\)

Właściwie to nic nie ruszyłem z tym zadaniem.
Proszę o pomoc.
Pozdrawiam!

[zaklopotany93]

Wystarczy wykorzystać tożsamości

\(\displaystyle{ \sin^4x+\cos^4x=1-2\sin^2x\cos^2x}\)
\(\displaystyle{ \sin 2x=2\sin x \cos x}\)

a dalej to własności funkcji sinus

[unn4m3nd]

"\(\displaystyle{ -2\sin^2x\cos^2x}\)"

jak z tego może wyjść to: \(\displaystyle{ \sin 2x}\)? przecież w wzorze jest \(\displaystyle{ 2\sin x \cos x}\) a nie \(\displaystyle{ -2\sin^2x\cos^2x}\)

[anna_]

\(\displaystyle{ \sin^4x+\cos^4x=1-2\sin^2x\cos^2x\\
\sin^4x+\cos^4x=1- \frac{1}{2} \cdot 4 \sin^2x\cos^2x\\
\sin^4x+\cos^4x=1- \frac{1}{2} \cdot (2 \sin x \cos x)^2\\
\sin^4x+\cos^4x=1- \frac{1}{2} \cdot (\sin 2x)^2}\)

[unn4m3nd]

w podpowiedzi jest coś takiego:
\(\displaystyle{ -4\sin^2x\cos^2x = 2m-2 \Rightarrow \sin^22x=2-2m}\)

w ogóle nie rozumiem skąd wzięło się to: "\(\displaystyle{ 2m-2}\)"?!

[anna_]

\(\displaystyle{ \sin^4x+\cos^4x=1-2\sin^2x\cos^2x\\
\sin^4x+\cos^4x=1- \frac{1}{2} \cdot 4 \sin^2x\cos^2x\\
\sin^4x+\cos^4x=1- \frac{1}{2} \cdot (2 \sin x \cos x)^2\\
\sin^4x+\cos^4x=1- \frac{1}{2} \cdot (\sin 2x)^2}\)

\(\displaystyle{ m=1- \frac{1}{2} \cdot (\sin 2x)^2 \ / \cdot 2}\)

\(\displaystyle{ 2m=2- \sin^2 2x}\)

.....

[unn4m3nd]

Ok, dzięki wielkie!

Mam jeszcze jedno pytanie nie związane z tym tematem.
Jak rozpisać taką nierówność:\(\displaystyle{ \sin^2x > \frac{1}{4}}\)
ja bym to rozpisał jako\(\displaystyle{ \sin x > \frac{1}{2} \vee \sin x < -\frac{1}{2}}\)

Gdzieś znalazłem że to \(\displaystyle{ \left| \sin x\right| > \frac{1}{2}}\)

Tak, wiem że jedno nie wyklucza drugiego, ale czy jakbym zapisał w rozwiązaniu od razu bez tej wartości bezwzględnej czy to byłby błąd?

[anna_]

Ja bym to zapisała jako:
\(\displaystyle{ \sin^2x > \frac{1}{4}\\
\sin^2x -\frac{1}{4}>0\\
(\sin x- \frac{1}{2} )(\sin x+ \frac{1}{2} )>0}\)

\(\displaystyle{ \sin x \in (- \infty ,- \frac{1}{2} ) \cup ( \frac{1}{2},+ \infty )}\)

Według mnie wszystkie zapisy są dopuszczalne.