Udowodnij równanie
-
Adik907
- Użytkownik
- Posty: 57
- Rejestracja: 27 lis 2010, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krk
- Podziękował: 18 razy
Udowodnij równanie
Udowodnij równanie : \(\displaystyle{ 2 \arctan x = \arcsin \left( \frac{2x}{x^2+1} \right)}\) . Jak sie za to zabrać ?
Ostatnio zmieniony 26 sty 2013, o 14:51 przez Vardamir, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
loitzl9006
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
Udowodnij równanie
Pochodna tego po prawej wynosi
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{1-\left( \frac{2x}{x^2+1} \right)^2 } } \cdot \frac{2(x^2+1)-2x \cdot 2x}{\left( x^2+1\right)^2 }= \frac{1}{ \sqrt{ \frac{(x^2+1)^2-\left( 2x\right) ^2}{(x^2+1)^2}} } \cdot \frac{-2x^2+2}{(x^2+1)^2}= \\ \\ = \frac{1}{ \sqrt{ \frac{\left( x^2-2x+1\right) \left( x^2+2x+1\right) }{\left( x^2+1\right)^2 } } } \cdot \frac{-2(x^2-1)}{(x^2+1)^2}= \sqrt{\frac{(x^2+1)^2}{(x-1)^2(x+1)^2}} \cdot \frac{-2(x-1)(x+1)}{(x^2+1)^2}= \\ \\ =\frac{x^2+1}{\pm(x-1)(x+1)} \cdot \frac{-2(x-1)(x+1)}{(x^2+1)^2}=\pm \frac{2}{x^2+1}}\)
Pochodna lewej strony to \(\displaystyle{ \frac{2}{x^2+1}}\).
Funkcja \(\displaystyle{ \arctg}\) jest rosnąca, trzeba teraz znaleźć przedział w którym funkcja \(\displaystyle{ \frac{2x}{x^2+1}}\) jest rosnąca - zbadać przebieg zmienności funkcji \(\displaystyle{ \frac{2x}{x^2+1}}\). Zauważyć, że np. wartości funkcji \(\displaystyle{ 2\arctg x}\) i \(\displaystyle{ \arcsin \left( \frac{2x}{x^2+1} \right)}\) dla \(\displaystyle{ x=0}\) są takie same czyli zero, i pochodna obu funkcji zarówno \(\displaystyle{ 2\arctg x}\) jak i \(\displaystyle{ \arcsin \left( \frac{2x}{x^2+1} \right)}\) są takie same, to równanie będzie (dla pewnego przedziału tylko) spełnione.
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{1-\left( \frac{2x}{x^2+1} \right)^2 } } \cdot \frac{2(x^2+1)-2x \cdot 2x}{\left( x^2+1\right)^2 }= \frac{1}{ \sqrt{ \frac{(x^2+1)^2-\left( 2x\right) ^2}{(x^2+1)^2}} } \cdot \frac{-2x^2+2}{(x^2+1)^2}= \\ \\ = \frac{1}{ \sqrt{ \frac{\left( x^2-2x+1\right) \left( x^2+2x+1\right) }{\left( x^2+1\right)^2 } } } \cdot \frac{-2(x^2-1)}{(x^2+1)^2}= \sqrt{\frac{(x^2+1)^2}{(x-1)^2(x+1)^2}} \cdot \frac{-2(x-1)(x+1)}{(x^2+1)^2}= \\ \\ =\frac{x^2+1}{\pm(x-1)(x+1)} \cdot \frac{-2(x-1)(x+1)}{(x^2+1)^2}=\pm \frac{2}{x^2+1}}\)
Pochodna lewej strony to \(\displaystyle{ \frac{2}{x^2+1}}\).
Funkcja \(\displaystyle{ \arctg}\) jest rosnąca, trzeba teraz znaleźć przedział w którym funkcja \(\displaystyle{ \frac{2x}{x^2+1}}\) jest rosnąca - zbadać przebieg zmienności funkcji \(\displaystyle{ \frac{2x}{x^2+1}}\). Zauważyć, że np. wartości funkcji \(\displaystyle{ 2\arctg x}\) i \(\displaystyle{ \arcsin \left( \frac{2x}{x^2+1} \right)}\) dla \(\displaystyle{ x=0}\) są takie same czyli zero, i pochodna obu funkcji zarówno \(\displaystyle{ 2\arctg x}\) jak i \(\displaystyle{ \arcsin \left( \frac{2x}{x^2+1} \right)}\) są takie same, to równanie będzie (dla pewnego przedziału tylko) spełnione.