liczba niewymierna

[theoldwest]

\(\displaystyle{ \cos \left(\frac{151\pi}{180}\right)+\cos\left(\frac{31\pi}{180} \right)}\)

Pokazać, że ta liczba jest niewymierna.

[Vardamir]

Wzór na sumę cosiunusów pozwala redukować ten problem do prostszego.

[theoldwest]

ok, zastosowałem go

\(\displaystyle{ \cos \left(\frac{151\pi}{180}\right)+\cos\left(\frac{31\pi}{180}\right) =\cos \left(\frac{91}{180}\pi \right)}\)

Co teraz?

[Vardamir]

Raczej zostaje coś takiego:

\(\displaystyle{ \cos \left(\frac{151\pi}{180}\right)+\cos\left(\frac{31\pi}{180}\right) =-\cos \left(\frac{182}{180}\pi \right)=\cos\left(\frac{2}{180}\pi \right)=\cos\left( 2^{\circ}\right)}\)

I teraz pytanie, czy \(\displaystyle{ \cos\left( 2^{\circ}\right)}\) jest liczbą wymierną?

[theoldwest]

Stosuję wzór \(\displaystyle{ \cos(x)+\cos(y)=2\cos \left(\frac{x+y}{2}\right)\cos \left(\frac{x-y}{2}\right)}\) i cały czas mi wychodzi taki wynik jaki napisałem, nie wiem jak Ci tyle wyszło

[Vardamir]

Faktycznie, zapomniałem podzielić przez \(\displaystyle{ 2}\).

W takim razie sprowadza się to do wykazania, że :

\(\displaystyle{ \cos \left(\frac{91}{180}\pi \right)=-\sin\left(\frac{1}{180}\pi \right)=-sin\left( 1^{\circ }\right)}\)

jest niewymierna.

[theoldwest]

Ok, to możesz na koniec dać wskazówkę jak pokazać, że sinus jednego stopnia jest niewymierny?-- 22 sty 2013, o 22:32 --Dobra, poradziłem sobie już z tym, dzięki!