równanie trygonometryczne

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
sauron33
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 19 sty 2013, o 15:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zmc
Podziękował: 16 razy

równanie trygonometryczne

Post autor: sauron33 »

Proszę o sprawdzenie i pomoc

Rozwiąż równanie: \(\displaystyle{ tg(\pi \cos t)=ctg(\pi \sin t)}\)
\(\displaystyle{ tg(\pi \cos t)=tg( \frac{\pi}{2}- \pi \sin t)}\)
\(\displaystyle{ \pi \cos t= \frac{\pi}{2}- \pi \sin t + k \pi}\)
\(\displaystyle{ \pi (\cos t +\sin t)= \frac{\pi}{2}+k \pi}\)
\(\displaystyle{ \sin ( \frac{\pi}{2} -t) +\sin t= \frac{1}{2}+k}\)
\(\displaystyle{ 2 \sin ( \frac{ \frac{\pi}{2} -t+t}{2}) \sin ( \frac{ \frac{\pi}{2} -t-t}{2}) = \frac{1+2k}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin ( \frac{\pi}{4} -t) = \frac{1+2k}{2 \sqrt{2} }}\)


i nie wiem co dalej?
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

równanie trygonometryczne

Post autor: yorgin »

sinus przyjmuje wartości z przedziału \(\displaystyle{ [-1,1]}\). Zatem i wyrażenie

\(\displaystyle{ \frac{1+2k}{2 \sqrt{2} }}\)

musi przyjmować wartości z tego przedziału. Znajdź wszystkie takie \(\displaystyle{ k}\) i wtedy rozwiązuj każdy przypadek. Dużo ich nie będzie.
sauron33
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 19 sty 2013, o 15:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zmc
Podziękował: 16 razy

równanie trygonometryczne

Post autor: sauron33 »

no dobra wyszła mi \(\displaystyle{ k \in {-1 ,0}}\)
\(\displaystyle{ \sin ( \frac{\pi}{4} -t) =- \frac{ \sqrt{2} }{4 }}\)

i

\(\displaystyle{ \sin ( \frac{\pi}{4} -t) = \frac{ \sqrt{2} }{4 }}\)

jakieś dziwne te wartości wyszły dla jakiego kąta sinus wynosi tyle?
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

równanie trygonometryczne

Post autor: yorgin »

Nie jestem pewien. Sprawdziłem tablice w poszukiwaniu dokładnej wartości kąta i nie znalazłem. Może po prostu trzeba obłożyć arcus sinusem?

Wolfram niestety nie podaje konkretnej wartości, poza miarą \(\displaystyle{ \pm 20,7^0}\)
sauron33
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 19 sty 2013, o 15:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zmc
Podziękował: 16 razy

równanie trygonometryczne

Post autor: sauron33 »

obłożyć arcus sinusem
to znaczy co bo nie wiem co to jest?
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

równanie trygonometryczne

Post autor: yorgin »

To jest funkcja odwrotna do funkcji sinus, która wartości liczbowej przypisuje kąt taki, że sinus tego kąta to dana wartość liczbowa.
sauron33
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 19 sty 2013, o 15:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zmc
Podziękował: 16 razy

równanie trygonometryczne

Post autor: sauron33 »

a mógłbyś mi rozwiązać ten przykład twoim sposobem bo nie miałem z tym jeszcze styczności
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

równanie trygonometryczne

Post autor: yorgin »

To nie jest trudne.

\(\displaystyle{ \sin ( \frac{\pi}{4} -t) = \frac{ \sqrt{2} }{4 }\\
\frac{\pi}{4}-t=\arcsin\frac{\sqrt{2}}{4}\\
t=\frac{\pi}{4}-\arcsin\frac{\sqrt{2}}{4}}\)


Analogicznie dla drugiego przypadku.

Pytanie, czy taka faktycznie jest odpowiedź. Śledziłem Twoje rozwiązanie z pierwszego postu, ale błędu nie wychwyciłem.
sauron33
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 19 sty 2013, o 15:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zmc
Podziękował: 16 razy

równanie trygonometryczne

Post autor: sauron33 »

i to jest już rozwiązanie nie da się tego już obliczyć dalej?
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

równanie trygonometryczne

Post autor: yorgin »

Można podawać wartości przybliżone, ale to chyba nie do końca o to chodzi Tzn ja bym tyle zostawił. W końcu dla matematyka liczba \(\displaystyle{ \arcsin\frac{\sqrt{2}}{4}}\) jest dobrą wartością kąta, być może bliżej nieokreśloną, bo nie dającą się ładnie wyrazić, ale obliczalną.
ODPOWIEDZ