równanie trygonometryczne
-
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 19 sty 2013, o 15:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: zmc
- Podziękował: 16 razy
równanie trygonometryczne
Proszę o sprawdzenie i pomoc
Rozwiąż równanie: \(\displaystyle{ tg(\pi \cos t)=ctg(\pi \sin t)}\)
\(\displaystyle{ tg(\pi \cos t)=tg( \frac{\pi}{2}- \pi \sin t)}\)
\(\displaystyle{ \pi \cos t= \frac{\pi}{2}- \pi \sin t + k \pi}\)
\(\displaystyle{ \pi (\cos t +\sin t)= \frac{\pi}{2}+k \pi}\)
\(\displaystyle{ \sin ( \frac{\pi}{2} -t) +\sin t= \frac{1}{2}+k}\)
\(\displaystyle{ 2 \sin ( \frac{ \frac{\pi}{2} -t+t}{2}) \sin ( \frac{ \frac{\pi}{2} -t-t}{2}) = \frac{1+2k}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin ( \frac{\pi}{4} -t) = \frac{1+2k}{2 \sqrt{2} }}\)
i nie wiem co dalej?
Rozwiąż równanie: \(\displaystyle{ tg(\pi \cos t)=ctg(\pi \sin t)}\)
\(\displaystyle{ tg(\pi \cos t)=tg( \frac{\pi}{2}- \pi \sin t)}\)
\(\displaystyle{ \pi \cos t= \frac{\pi}{2}- \pi \sin t + k \pi}\)
\(\displaystyle{ \pi (\cos t +\sin t)= \frac{\pi}{2}+k \pi}\)
\(\displaystyle{ \sin ( \frac{\pi}{2} -t) +\sin t= \frac{1}{2}+k}\)
\(\displaystyle{ 2 \sin ( \frac{ \frac{\pi}{2} -t+t}{2}) \sin ( \frac{ \frac{\pi}{2} -t-t}{2}) = \frac{1+2k}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin ( \frac{\pi}{4} -t) = \frac{1+2k}{2 \sqrt{2} }}\)
i nie wiem co dalej?
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
równanie trygonometryczne
sinus przyjmuje wartości z przedziału \(\displaystyle{ [-1,1]}\). Zatem i wyrażenie
\(\displaystyle{ \frac{1+2k}{2 \sqrt{2} }}\)
musi przyjmować wartości z tego przedziału. Znajdź wszystkie takie \(\displaystyle{ k}\) i wtedy rozwiązuj każdy przypadek. Dużo ich nie będzie.
\(\displaystyle{ \frac{1+2k}{2 \sqrt{2} }}\)
musi przyjmować wartości z tego przedziału. Znajdź wszystkie takie \(\displaystyle{ k}\) i wtedy rozwiązuj każdy przypadek. Dużo ich nie będzie.
-
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 19 sty 2013, o 15:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: zmc
- Podziękował: 16 razy
równanie trygonometryczne
no dobra wyszła mi \(\displaystyle{ k \in {-1 ,0}}\)
\(\displaystyle{ \sin ( \frac{\pi}{4} -t) =- \frac{ \sqrt{2} }{4 }}\)
i
\(\displaystyle{ \sin ( \frac{\pi}{4} -t) = \frac{ \sqrt{2} }{4 }}\)
jakieś dziwne te wartości wyszły dla jakiego kąta sinus wynosi tyle?
\(\displaystyle{ \sin ( \frac{\pi}{4} -t) =- \frac{ \sqrt{2} }{4 }}\)
i
\(\displaystyle{ \sin ( \frac{\pi}{4} -t) = \frac{ \sqrt{2} }{4 }}\)
jakieś dziwne te wartości wyszły dla jakiego kąta sinus wynosi tyle?
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
równanie trygonometryczne
Nie jestem pewien. Sprawdziłem tablice w poszukiwaniu dokładnej wartości kąta i nie znalazłem. Może po prostu trzeba obłożyć arcus sinusem?
Wolfram niestety nie podaje konkretnej wartości, poza miarą \(\displaystyle{ \pm 20,7^0}\)
Wolfram niestety nie podaje konkretnej wartości, poza miarą \(\displaystyle{ \pm 20,7^0}\)
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
równanie trygonometryczne
To jest funkcja odwrotna do funkcji sinus, która wartości liczbowej przypisuje kąt taki, że sinus tego kąta to dana wartość liczbowa.
-
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 19 sty 2013, o 15:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: zmc
- Podziękował: 16 razy
równanie trygonometryczne
a mógłbyś mi rozwiązać ten przykład twoim sposobem bo nie miałem z tym jeszcze styczności
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
równanie trygonometryczne
To nie jest trudne.
\(\displaystyle{ \sin ( \frac{\pi}{4} -t) = \frac{ \sqrt{2} }{4 }\\
\frac{\pi}{4}-t=\arcsin\frac{\sqrt{2}}{4}\\
t=\frac{\pi}{4}-\arcsin\frac{\sqrt{2}}{4}}\)
Analogicznie dla drugiego przypadku.
Pytanie, czy taka faktycznie jest odpowiedź. Śledziłem Twoje rozwiązanie z pierwszego postu, ale błędu nie wychwyciłem.
\(\displaystyle{ \sin ( \frac{\pi}{4} -t) = \frac{ \sqrt{2} }{4 }\\
\frac{\pi}{4}-t=\arcsin\frac{\sqrt{2}}{4}\\
t=\frac{\pi}{4}-\arcsin\frac{\sqrt{2}}{4}}\)
Analogicznie dla drugiego przypadku.
Pytanie, czy taka faktycznie jest odpowiedź. Śledziłem Twoje rozwiązanie z pierwszego postu, ale błędu nie wychwyciłem.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
równanie trygonometryczne
Można podawać wartości przybliżone, ale to chyba nie do końca o to chodzi Tzn ja bym tyle zostawił. W końcu dla matematyka liczba \(\displaystyle{ \arcsin\frac{\sqrt{2}}{4}}\) jest dobrą wartością kąta, być może bliżej nieokreśloną, bo nie dającą się ładnie wyrazić, ale obliczalną.