Nierówność trygonometryczna

[golabek1991]

Udowodnij, że \(\displaystyle{ \sin (x) - \tg (x) < 0}\)


Co mam tutaj zrobić?

[JakimPL]

W ogólności to raczej nie jest prawda. Na jakim przedziale masz to rozpatrzone?

[golabek1991]

nie powiem Ci tego bo dostałem te zadanie od kolegi ;f obiecałem, że spróbuję zrobić a tak w ogole nie mam pojecia od czego zaczac :<

[JakimPL]

No to w takim sformułowaniu to nie jest prawda. Przyjmijmy przedział \(\displaystyle{ \left(0,\frac{\pi}{2}\right)}\). Wiemy, że dla \(\displaystyle{ x=0}\) mamy:

\(\displaystyle{ \sin 0 = \tg 0 = 0}\)

Wystarczy policzyć pochodną i zauważyć, że na danym przedziale:

\(\displaystyle{ (\tg x)' > (\sin x)'}\)

co implikuje \(\displaystyle{ \tg x > \sin x}\).

[golabek1991]

Dziękuję:)

[Marcinek665]

\(\displaystyle{ \sin x \le \frac{\sin x}{\cos x} = \tg x}\), bo \(\displaystyle{ \cos x \le 1}\) na danym przedziale.