Funkcja parzysta/nieparzysta

[PanKracyToNieTak]

Kolejny problem, kolejne zadanie.

Dla jakich wartości parametrów \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) funkcja \(\displaystyle{ f_{x} =a \cdot \sin x + \cos x}\) jest:
a) parzysta
b) nieparzysta

I teraz tak. Próbowałem pod \(\displaystyle{ x}\) podstawić wartość \(\displaystyle{ \pi}\) lub \(\displaystyle{ 2\pi}\), ale wtedy równanie \(\displaystyle{ y=ax+b}\) traci trochę sens i nie mam układu równań do wyliczenia szukanych. Jak zacząć?

[konrad509]

a)
\(\displaystyle{ a\cdot \sin x+\cos x=a\cdot \sin(-x)+\cos (-x)\\
a\cdot \sin x+\cos x=-a\cdot \sin x+\cos x\\
a\cdot \sin x=-a\cdot \sin x\\
a=-a\\
a=0}\)

-- 17 sty 2013, o 15:21 --

Ale w poleceniu jest dla jakich \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), a u Ciebie nie ma nigdzie \(\displaystyle{ b}\), więc zapewne nie dopisałeś czyli rozwiązanie będzie inne.

[PanKracyToNieTak]

Musiałem trzasnąć literówkę bo nie wiem gdzie mi wcięło \(\displaystyle{ b}\).. Edytować postu też nie mogę (też nie mam pojęcia, gdzie opcja się schowała(?)), ale raz jeszcze przepiszę wzór, tym razem poprawnie:
\(\displaystyle{ f_{x} =a \cdot \sin x + b\cos x}\)

Zastanawiam się nad pierwszym równaniem, które mi napisałeś. Czy to wynika z funkcji liniowej, bo nie wiem skąd ten wniosek.

[konrad509]

To \(\displaystyle{ a\cdot \sin x+\cos x=a\cdot \sin(-x)+\cosx (-x)}\) ?
Ten zapis wynika z tego, że funkcja ma być parzysta czyli \(\displaystyle{ f(x)=f(-x)}\).

[PanKracyToNieTak]

Tylko dlaczego druga część jest już bez \(\displaystyle{ \cosx}\)?
Ok. W takim razie mamy przypadek z parzystością, a przy nieparzystości do czego mam porównywać równanie?

[konrad509]

Bo \(\displaystyle{ \cos (-x)=\cos x}\)
A kiedy funkcja jest nieparzysta?

-- 17 sty 2013, o 15:53 --

Choć ogólnie teraz nie wiem czy to będzie dobra metoda jak są dwie niewiadome.-- 17 sty 2013, o 15:56 --Ok. W pierwszym przykładzie jak zrobisz tą metodą to wyjdzie, że nie zależy od \(\displaystyle{ b}\), czyli \(\displaystyle{ a=0}\).

[PanKracyToNieTak]

Sprawdziłem w odpowiedziach i:
a) \(\displaystyle{ a=0}\),
b) \(\displaystyle{ b=0}\),
czyli jak mniemam mimo przeoczenia przeze mnie jednej litery i tak jest dobrze. Podpunkt a) chyba już rozumiem, jeszcze będę musiał tylko na kartce przelecieć długopisem i upewnić się dla pewności. Co jednak z drugim przypadkiem?
Raczej tego wzoru: \(\displaystyle{ \cos (-x)=\cos x}\) już nie wykorzystam.

[konrad509]

A kiedy funkcja jest nieparzysta?

[PanKracyToNieTak]

Funkcja nie jest parzysta, gdy nie ma swojego odbicia lustrzanego, czyli \(\displaystyle{ f_{x} \neq f_{-x}}\). Tylko, że ten wzór raczej nie pozwoli mi wyliczyć \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). Chyba, że cała reszta to szukana odpowiedź (tylko nie wiem jak to się ma do odpowiedzi książkowej).

[konrad509]

"Funkcja nie jest parzysta" \(\displaystyle{ \not \Leftrightarrow}\) funkcja jest nieparzysta

Funkcja jest nieparzysta gdy \(\displaystyle{ f(-x)=-f(x)}\)-- 17 sty 2013, o 16:30 --Czyli wystarczy w poprzednim równaniu dopisać minus do lewej strony Oczywiście z uwzględnieniem brakującego \(\displaystyle{ b}\).

[PanKracyToNieTak]

Gracias senior. Dzięki za wyjaśnienie. Było to potrzebne.