równanie trygonometryczne z parametrem

[patidadi]

Witam,
Mam takie zadanie:
\(\displaystyle{ 2^{1+k\cos ^{2}x}+16 \cdot 2^{-3+k\sin ^{2}x}=20, x \in (0, \pi )}\)
jeżeli k jest pierwiastkiem równania:
\(\displaystyle{ \frac{x-1}{x} + \frac{x-2}{x}+...+ \frac{2}{x}+ \frac{1}{x}= \frac{3}{2}}\)
Czy ktoś mógłby mi pomóc?

[yorgin]

Zacznijmy od tego:

\(\displaystyle{ \frac{x-1}{x} + \frac{x-2}{x}+...+ \frac{2}{x}+ \frac{1}{x}= \frac{3}{2}}\)

Założenie \(\displaystyle{ x\neq 0}\)

Przekształcenie:

\(\displaystyle{ \frac{x-1}{x} + \frac{x-2}{x}+...+ \frac{2}{x}+ \frac{1}{x}=\frac{1}{x}\left(1+2+\ldots+(x-1)\right)=\frac{1}{x}\cdot \frac{x(x-1)}{2}=\frac{x-1}{2}=\frac{3}{2}}\)

[bb314]

\(\displaystyle{ \frac{x-1}{x} + \frac{x-2}{x}+...+ \frac{2}{x}+ \frac{1}{x}=\frac{1}{x}\left( (x-1)+x-2)+\ ...\ +2+1\right)=\frac{1}{x}\cdot \frac{x(x-1)}{2}=\frac{x-1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{x-1}{2}=\frac{3}{2}\ \ \to\ \ x-1=3\ \ \to\ \ x=4\ \ \to\ \ \blue k=4}\)

\(\displaystyle{ 2^{1+4\cos ^{2}x}+16 \cdot 2^{-3+4\sin ^{2}x}=20}\)
\(\displaystyle{ 2^1\cdot2^{4\cos ^{2}x}+16 \cdot 2^{-3}\cdot2^{4\sin ^{2}x}=20\ \ /:2}\)
\(\displaystyle{ 2^{4\cos ^{2}x}+2^{4\sin ^{2}x}=10}\)
podstawienie \(\displaystyle{ \cos^2x=1-\sin^2x}\) a następnie \(\displaystyle{ y=2^{4\sin^2x}}\)

powstaje równanie kwadratowe, z którego \(\displaystyle{ y=8\ \ \vee\ \ y=2}\)

stąd \(\displaystyle{ 4\sin^2x=3\ \ \vee\ \ 4\sin^2x=1\ \ \to \ \ \ \magenta\alpha=\left\{\frac16\pi,\frac13\pi,\frac23\pi,\frac56\pi\right\}}\)

[patidadi]

dzięki czyli jednak dobrze robiłam, tylko błąd rachunkowy miałam i mi takie ładne równanie kwadratowe nie wyszło, bo zamieniłam \(\displaystyle{ cos^{2}x}\) na \(\displaystyle{ 1-sin^{2}x}\) i popełniłam błąd w obliczeniach dalszych. Teraz znalazłam