Witam. Mam rozwiązać następujące równanie:
\(\displaystyle{ \sin ^{2} x + \sin ^{2} 2x = \sin ^{2} 3x + \sin ^{2} 4x}\)
Najpierw przenoszę składniki:
\(\displaystyle{ \sin ^{2} x - \sin ^{2} 3x = \sin ^{2} 4x - \sin ^{2} 2x}\)
Teraz przekształcam to korzystając ze wzorów skrócenego mnożenia:
\(\displaystyle{ \left( \sin x - \sin 3x\right) \left( \sin x +\sin 3x\right) =\left( \sin 4x - \sin 2x\right) \left( \sin 4x + \sin 2x\right)}\)
I tażdy z nawiasów traktuję wzorem na sumę/różnicę sinusów
Po uproszczeniu dostaję:
\(\displaystyle{ 4 \cdot \sin-x \cos2x \sin2x \cos-x=4 \cdot \sin x \cos3x \sin3x \cos x}\)
Nie wiem tylko jak to dalej przekształcać. Bardzo proszę o wskazówkę.
równanie trygonometryczne (2)
-
- Użytkownik
- Posty: 1053
- Rejestracja: 20 wrz 2012, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podWarszawie
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 208 razy
równanie trygonometryczne (2)
jak ja bym to zrobił..
\(\displaystyle{ \left( \sin x - \sin 3x\right) \left( \sin x +\sin 3x\right) =\left( \sin 4x - \sin 2x\right) \left( \sin 4x + \sin 2x\right)}\)
lewą stronę potraktować worem na sume/roznice sinusów, dostajemy:
\(\displaystyle{ L = -4\sin 2x \cos x \sin x \cos 2x}\)
prawą stronę wzorem na sinus podwojonego kąta, dostajemy
\(\displaystyle{ P = (2\sin 2x \cos 2x - 2\sin x \cos x)(2\sin 2x \cos 2x + 2\sin x \cos x)}\)
\(\displaystyle{ L = P}\) , zatem
\(\displaystyle{ -4\sin 2x \cos x \sin x \cos 2x = 4\sin^2 2x \cos^2 2x + 4\sin^2 x \cos^2 x}\)
znowu sinus podwojonego kąta, stąd:
\(\displaystyle{ 4\cos^2 2x + 2\cos 2x - 1 = 0}\)
\(\displaystyle{ \left( \sin x - \sin 3x\right) \left( \sin x +\sin 3x\right) =\left( \sin 4x - \sin 2x\right) \left( \sin 4x + \sin 2x\right)}\)
lewą stronę potraktować worem na sume/roznice sinusów, dostajemy:
\(\displaystyle{ L = -4\sin 2x \cos x \sin x \cos 2x}\)
prawą stronę wzorem na sinus podwojonego kąta, dostajemy
\(\displaystyle{ P = (2\sin 2x \cos 2x - 2\sin x \cos x)(2\sin 2x \cos 2x + 2\sin x \cos x)}\)
\(\displaystyle{ L = P}\) , zatem
\(\displaystyle{ -4\sin 2x \cos x \sin x \cos 2x = 4\sin^2 2x \cos^2 2x + 4\sin^2 x \cos^2 x}\)
znowu sinus podwojonego kąta, stąd:
\(\displaystyle{ 4\cos^2 2x + 2\cos 2x - 1 = 0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 18 paź 2010, o 19:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 9 razy
równanie trygonometryczne (2)
Doszedłem do rozwiązania \(\displaystyle{ \frac{\pi n}{2}}\) , ale w odpowiedziach jest jeszcze jedno i nie potrafię go wyprowadzić.
Czy można by zapisać to równanie w postaci "iloczyn = 0"
* Udało mi się odczytać z wykresu że to rozwiązanie to \(\displaystyle{ \frac{\pi \cdot n}{5}}\), ale wolałbym też rozwiązać je "na papierze. Niestety utknąłem bardzo proszę o dalszą wskazówkę
Czy można by zapisać to równanie w postaci "iloczyn = 0"
* Udało mi się odczytać z wykresu że to rozwiązanie to \(\displaystyle{ \frac{\pi \cdot n}{5}}\), ale wolałbym też rozwiązać je "na papierze. Niestety utknąłem bardzo proszę o dalszą wskazówkę
-
- Użytkownik
- Posty: 1053
- Rejestracja: 20 wrz 2012, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podWarszawie
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 208 razy
równanie trygonometryczne (2)
licząc deltę i pierwiastki dostajesz jakieś... pierwiastki. Dosyć brzydkie, przyznam, ale takie wartości jakie wyjdą cosinus przyjmuje dla ładnych kątów. Z tym że zgadywanie to tu raczej nie jest metoda, a arcusy to nie w liceum. Nie mam pomysłów Tzn. no można spróbować zrobić równanie z sinusami, ale wątpię, właściwie mam 90% pewności, że wyjdzie równie brzydko.