równanie trygonometryczne (2)

[taton]

Witam. Mam rozwiązać następujące równanie:

\(\displaystyle{ \sin ^{2} x + \sin ^{2} 2x = \sin ^{2} 3x + \sin ^{2} 4x}\)

Najpierw przenoszę składniki:

\(\displaystyle{ \sin ^{2} x - \sin ^{2} 3x = \sin ^{2} 4x - \sin ^{2} 2x}\)

Teraz przekształcam to korzystając ze wzorów skrócenego mnożenia:

\(\displaystyle{ \left( \sin x - \sin 3x\right) \left( \sin x +\sin 3x\right) =\left( \sin 4x - \sin 2x\right) \left( \sin 4x + \sin 2x\right)}\)

I tażdy z nawiasów traktuję wzorem na sumę/różnicę sinusów

Po uproszczeniu dostaję:

\(\displaystyle{ 4 \cdot \sin-x \cos2x \sin2x \cos-x=4 \cdot \sin x \cos3x \sin3x \cos x}\)

Nie wiem tylko jak to dalej przekształcać. Bardzo proszę o wskazówkę.

[777Lolek]

jak ja bym to zrobił..
\(\displaystyle{ \left( \sin x - \sin 3x\right) \left( \sin x +\sin 3x\right) =\left( \sin 4x - \sin 2x\right) \left( \sin 4x + \sin 2x\right)}\)
lewą stronę potraktować worem na sume/roznice sinusów, dostajemy:

\(\displaystyle{ L = -4\sin 2x \cos x \sin x \cos 2x}\)

prawą stronę wzorem na sinus podwojonego kąta, dostajemy

\(\displaystyle{ P = (2\sin 2x \cos 2x - 2\sin x \cos x)(2\sin 2x \cos 2x + 2\sin x \cos x)}\)

\(\displaystyle{ L = P}\) , zatem

\(\displaystyle{ -4\sin 2x \cos x \sin x \cos 2x = 4\sin^2 2x \cos^2 2x + 4\sin^2 x \cos^2 x}\)

znowu sinus podwojonego kąta, stąd:

\(\displaystyle{ 4\cos^2 2x + 2\cos 2x - 1 = 0}\)

[taton]

Doszedłem do rozwiązania \(\displaystyle{ \frac{\pi n}{2}}\) , ale w odpowiedziach jest jeszcze jedno i nie potrafię go wyprowadzić.

Czy można by zapisać to równanie w postaci "iloczyn = 0"

* Udało mi się odczytać z wykresu że to rozwiązanie to \(\displaystyle{ \frac{\pi \cdot n}{5}}\), ale wolałbym też rozwiązać je "na papierze. Niestety utknąłem bardzo proszę o dalszą wskazówkę

[777Lolek]

licząc deltę i pierwiastki dostajesz jakieś... pierwiastki. Dosyć brzydkie, przyznam, ale takie wartości jakie wyjdą cosinus przyjmuje dla ładnych kątów. Z tym że zgadywanie to tu raczej nie jest metoda, a arcusy to nie w liceum. Nie mam pomysłów Tzn. no można spróbować zrobić równanie z sinusami, ale wątpię, właściwie mam 90% pewności, że wyjdzie równie brzydko.