wykaż

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ 2sin\{(1+\frac{1}{2}+.....+\frac{1}{2^{n-1}})\frac{\pi}{4}\} = \sqrt{2+\sqrt{2+....\sqrt{2}}}}\)

[Lorek]

Tam przy argumencie sinusa to chyba powinny byc kropki, nie \(\displaystyle{ \frac{1}{2^{n-1}}}\), bo to w końcu szereg nieskończony
Oczywiście \(\displaystyle{ 1+\frac{1}{2}+...=2}\), więc \(\displaystyle{ 2\sin [(1+\frac{1}{2}+...)\frac{\pi}{4}]=2\sin\frac{\pi}{2}=2}\)
a teraz pierwiastki: niech
\(\displaystyle{ \sqrt{2+\sqrt{2+...\sqrt{2}}}=x,\:x>0}\)
podnosimy równanie do kwadratu
\(\displaystyle{ x^2=2+\sqrt{2+...\sqrt{2}}\\x^2=2+x}\)
Rozwiązaniem dodatnim jest x=2, więc oczywiście równość całości zachodzi.

[mol_ksiazkowy]

Lorek napisał:

Tam przy argumencie sinusa to chyba powinny byc kropki, nie \(\displaystyle{ \frac{1}{2^{n-1}}}\), bo to w końcu szereg nieskończony

wszysko klawo, ale nie całkiem tu mi o to szło....lecz o to iz po prawej stronie tez jest skonczona operacja , tj wystepuje dokladnie tyle pierwiastkow co skladn sumy pod sinusem po lewej ,sorki za ten bałagan.....

[PFloyd]

\(\displaystyle{ cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+cos\alpha}{2}}\\
\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}_{n}=\underbrace{\sqrt{2+...+\sqrt{2+2sin\frac{\pi}{4}}}}_{n-1}\\
\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}_{n}=2sin\frac{\pi}{2^{n+1}}}\)

[Lorek]

Tyż tak można.