Wyznacz wartość wyrażenia

[Orion94]

Wyznacz: \(\displaystyle{ sin^4 \alpha +cos^4 \alpha}\), wiedząc, że \(\displaystyle{ sin \alpha + cos \alpha =a}\)
Czy da tutaj coś podstawienie: \(\displaystyle{ sin^2 \alpha =t}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow cos^2 \alpha = 1-t}\)
\(\displaystyle{ t \in \left\langle0;1 \right\rangle}\) ??

[anna_]

\(\displaystyle{ (\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)^2=\sin^4\alpha+2\sin^2\alpha\cos^2\alpha+\cos^4\alpha}\)

\(\displaystyle{ 1=\sin^4\alpha+2\sin^2\alpha\cos^2\alpha+\cos^4\alpha}\)

\(\displaystyle{ \sin^4\alpha+\cos^4\alpha=1-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha}\)

\(\displaystyle{ \sin^4\alpha+\cos^4\alpha=1-2(\sin\alpha\cos\alpha)^2}\)

teraz policz \(\displaystyle{ \sin\alpha\cos\alpha}\)
z
\(\displaystyle{ (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 =a^2}\)
i podstaw do tego wyżej

[Orion94]

Czy wychodzi wynik \(\displaystyle{ 1}\) ?

[anna_]

Raczej nie.
Jaki masz wynik dla tego \(\displaystyle{ \sin\alpha\cos\alpha}\)?

[Orion94]

\(\displaystyle{ sin \alpha cos \alpha = \frac{a^2-1}{2}}\)

[anna_]

Zgadza się.
Teraz liczysz:
\(\displaystyle{ \sin^4\alpha+\cos^4\alpha=1-2\left( \frac{a^2-1}{2} \right) ^2}\)-- dzisiaj, o 02:24 --Tylko prawą stronę.

[Orion94]

Dochodzę do: \(\displaystyle{ 1-2sin^2 \alpha cos^2 \alpha}\)

[anna_]

\(\displaystyle{ \sin^4\alpha+\cos^4\alpha=1-2\left( \frac{a^2-1}{2} \right) ^2}\)

\(\displaystyle{ \sin^4\alpha+\cos^4\alpha=1-2 \cdot \left( \frac{a^4-2a^2+1}{4} \right)}\)

\(\displaystyle{ \sin^4\alpha+\cos^4\alpha=1- \frac{a^4-2a^2+1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \sin^4\alpha+\cos^4\alpha= \frac{2-a^4+2a^2-1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \sin^4\alpha+\cos^4\alpha= \frac{-a^4+2a^2+1}{2}}\)

[Orion94]

I tutaj koniec zadania? Dziękuję za poświęcony czas. Czas spać

[anna_]

Koniec.
Dobranoc.