ograniczanie ciągów z cosinusami i sinusami

[mary5]

Weźmy ciąg \(\displaystyle{ a_{n} = \cos\left( \frac{ \pi }{n+1} \right)}\). Ten ciąg jest ograniczony przez \(\displaystyle{ 1}\), \(\displaystyle{ -1}\). Zastanawiam się jak podać formalny dowód takiego stwierdzenia. Czy jest to oczywiste, bo wynika z własności funkcji?

[octahedron]

\(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\cos\left(\frac{\pi}{n+2}\right)-\cos\left(\frac{\pi}{n+1}\right)=\\\\=2\sin\left(\frac{\pi}{2(n+2)}+\frac{\pi}{2(n+1)}\right)\sin\left(\frac{\pi}{2(n+1)(n+2)}\right)>0}\)

Ciąg jest rosnący, więc:

\(\displaystyle{ a_1\le a_n<\lim_{n\to\infty}a_n\Rightarrow 0\le a_n<1}\)

Można też skorzystać z własności funkcji, w przedziale \(\displaystyle{ \left[0,\frac{\pi}{2}\right]}\) jest malejąca, a ciąg \(\displaystyle{ \frac{\pi}{n+1}}\) też.

[Frmen]

jest ograniczony bo funkcja \(\displaystyle{ cos (x)}\)

Z DEGINICJI

przyjmuje wartości z przedziału \(\displaystyle{ [-1;1]}\)

[bartek118]

jest ograniczony bo funkcja \(\displaystyle{ cos (x)}\)

Z DEGINICJI

przyjmuje wartości z przedziału \(\displaystyle{ [-1;1]}\)

Zależy od definicji.