dowód równości z sinusami i cosinusami

[mary5]

Proszę o pomoc w udowodnieniu dwóch faktów:

\(\displaystyle{ (-1) ^{n} \cdot \cos(2n) = \cos \left(( \pi -2)n \right)}\)

oraz

\(\displaystyle{ (-1) ^{n} = \sin \left (n \pi + \frac{ \pi }{2} \right)}\)

Te własności pojawiają się w odpowiedziach przy zadaniach z szeregami, ale nie mam pojęcia, skąd one się biorą. Będę wdzięczna za pomoc.

[octahedron]

\(\displaystyle{ \cos((\pi-2)n)=\cos(n\pi-2n)=\cos(n\pi)\cos(2n)+\sin(n\pi)\sin(2n)=\cos(n\pi)\cos(2n)\\\\
\sin\left(n\pi+\frac{\pi}{2}\right)=\sin(n\pi)\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\cos(n\pi)=\cos(n\pi)\\\\
\cos(n\pi)=\left\{ \begin{array}{l}1,\,n\text{ parzyste}\\-1,\,n\text{ nieparzyste}\end{array}\right\}=(-1)^n}\)

[mary5]

Nie jest dla mnie do końca jasne, co się stało z \(\displaystyle{ \sin(n \pi )\sin(2n)}\) w pierwszym wzorze.
Resztę rozumiem.

[octahedron]

A jakie wartości przyjmuje sinus dla całkowitych wielokrotności \(\displaystyle{ \pi}\) ?

[mary5]

Rzeczywiście, chyba już czas spać... Dziękuję!