suma funkcji trygonometrycznych

[taton]

Witam

Mam przedstawić w postaci iloczynu następujący przykład. \(\displaystyle{ \sin x +\sin 2x + \sin 3x}\)

na początek przekształcam używając wzorów z na sinus wielokrotności kąta.

\(\displaystyle{ \sin x + 2\cdot \sin x \cdot \cos x + 3 \cdot \sin x - 4 \cdot \sin ^{3} x}\)

i przekształcam dalej

\(\displaystyle{ \sin x \left( 1 + 2 \cdot \cos x + 3 - 4 \cdot \sin ^{2}x \right)}\)

\(\displaystyle{ \sin x \left( 4 +2 \cdot \cos x- 4 \cdot \sin ^{2}x \right)}\)

\(\displaystyle{ 2 \sin x \left( 2 + \cdot \cos x- 2 \cdot \sin ^{2}x \right)}\)

\(\displaystyle{ 2 \sin x \left( 2 + \cdot \cos x- 2 \cdot \frac{1- \cos 2x}{2} \right)}\)

\(\displaystyle{ 2 \sin x \left( 2 + \cdot \cos x- 1+ \cos 2x \right)}\)

\(\displaystyle{ 2 \sin x \left( 1 + \cdot \cos x + \cos 2x \right)}\)

I tutaj nie wiem co robić dalej. Mógłby ktoś udzielić mi wskazówki?

[mlody3k]

Polecam użyć tożsamości:

\(\displaystyle{ \sin \alpha+\sin \beta=2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2}}\)

\(\displaystyle{ \sin x +\sin 2x + \sin 3x=2\sin \frac{x+2x}{2}\cos \frac{x-2x}{2}+\sin 3x=\\=2\sin \left( \frac{3}{2}x \right) \cos \left( -\frac{1}{2}x \right) +\sin 3x}\).

Teraz potraktuj \(\displaystyle{ \sin 3x}\) wzorem na podwojony kąt \(\displaystyle{ \sin 3x=2\sin \frac{3}{2}x\cos \frac{3}{2}x}\)

Masz dalej:

\(\displaystyle{ 2\sin \left( \frac{3}{2}x \right) \cos \left( -\frac{1}{2}x \right) +\sin 3x=2\sin \left( \frac{3}{2}x \right) \cos \left( -\frac{1}{2}x \right) +2\sin \frac{3}{2}x\cos \frac{3}{2}x=\\=2\sin \frac{3}{2}x \left[ \cos \left( -\frac{1}{2}x \right) +\cos \frac{3}{2}x \right]}\)

Dla wnętrza nawiasu wzór na sumę cosinusów i gotowe.

[Frmen]

Polecam użyć tożsamości:

\(\displaystyle{ \sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}\)

\(\displaystyle{ \sin x +\sin 2x + \sin 3x=2\sin\frac{x+2x}{2}\cos\frac{x-2x}{2}+\sin 3x=2\sin(\frac{3}{2}x)\cos(-\frac{1}{2}x)+\sin 3x}\).

Można i tak, ale w podobnych przypadkach zwykle sugeruję dodawanie wyrazów skrajnych

\(\displaystyle{ \sin x + \sin 3x=2\sin\frac{x+3x}{2}\cos\frac{x-3x}{2}=2\sin(2x)\cos(x)}\).

wtedy łatwiej dodać środkowy

[taton]

Można i tak, ale w podobnych przypadkach zwykle sugeruję dodawanie wyrazów skrajnych

\(\displaystyle{ \sin x + \sin 3x=2\sin\frac{x+3x}{2}\cos\frac{x-3x}{2}=2\sin(2x)\cos(x)}\).

wtedy łatwiej dodać środkowy

Czyli po przekształceniu powinno mi wyjść \(\displaystyle{ 2 \sin x \cdot \cos x + 4 \sin x \cdot \cos^{2}x}\) czy tak?

Nie jestem pewien co robić dalej. Czy mógłbym prosić o dalsze wskazówki?

[mlody3k]

Moja pierwsza odpowiedź rozwiązuje problem w całości