Zbiór wartości

[Kvothe]

Funkcja kwadratowa określona jest wzorem \(\displaystyle{ h(x) = \sin\alpha \cdot x^2 + \sqrt{2}x +1}\). Znajdź takie wartości parametru \(\displaystyle{ \alpha}\), aby każda liczba dodatnia należała do zbioru wartości tej funkcji.
Znam rozwiązanie, pytanie dotyczy rozumienia takich zadań. Dlaczego nie mogę założyć, że: \(\displaystyle{ q=0}\) oraz \(\displaystyle{ a >0}\)? Oczywiście w rozwiązaniu jest, że \(\displaystyle{ a>0}\) oraz \(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\). Czy za każdym razem trzeba zakładać coś, o co nie proszą w zadaniu? W poleceniu nie ma mowy o liczbach ujemnych, więc dlaczego trzeba robić założenia które je uwzględniają? Moje rozwiązanie również spełnia zadanie.

[pawellogrd]

Zawsze musisz robić takie założenia, żeby uwzględnić wszystkie możliwe (a nie tylko część) wyników, a równocześnie "zabezpieczyć" się przed niechcianymi wartościami. Tutaj takim zabezpieczeniem, a równocześnie uwzględnieniem wszystkich wyników jest warunek \(\displaystyle{ \Delta \geq 0}\). Jeśli założysz \(\displaystyle{ \Delta > 0}\) to uwzględnisz tylko część wyników, a nie wszystkie możliwe. Dlatego też w wielu zadaniach rozpatruje się różne przypadki jeżeli dla różnych zakresów wartości danych parametrów rozwiązanie zadania przebiega inaczej.

Możesz jeszcze napisać czym jest \(\displaystyle{ q}\)?

[cosinus90]

Fakt, zadanie jest nieściśle sformułowane - " (...) tak, aby każda liczba dodatnia należała do zbioru wartości funkcji " - w zasadzie to nie oznacza, że liczby ujemne nie mogą należeć do zbioru wartości.

W praktyce (zwłaszcza w szkole średniej) istnieje dużo schematów, więc gdybym dostał takie zadanie np. na maturze, to z pewnością rozwiązałbym je zakładając, że zbiorem wartości tej funkcji muszą być tylko liczby dodatnie.

Niemniej jednak dobrze o Tobie świadczy, że myślisz.

[Kvothe]

Możesz jeszcze napisać czym jest \(\displaystyle{ q}\)?

\(\displaystyle{ q}\) jest drugą współrzędną wierzchołka paraboli, czyli wierzchołek ten ma współrzędne: \(\displaystyle{ W=(p,q)}\)