Równanie trygonometryczne z parametrem

[FollowerOfMaths]

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie

\(\displaystyle{ \sin ^{4}x- \cos ^{4} x=6m- \cos ^{2} 2x}\)

ma co najmniej jedno rozwiązanie.

\(\displaystyle{ \cos ^{2}2x= \cos ^{4} x +\sin ^{4} x -2 \sin ^{2} x \cos ^{2}x}\)

Po podstawieniu:

\(\displaystyle{ \sin ^{4} x - \cos ^{4}x+ \cos ^{4}x+ \sin ^{4} x - 2\sin ^{2}x \cos ^{2} x-6m=0}\)

Jest to funkcja dwukwadratowa: \(\displaystyle{ \sin ^{4} x -2\sin ^{2} \cos ^{2}x -6m=0}\)

Co najmniej jedno rozwiązanie czyli \(\displaystyle{ \Delta>0}\)

Coś mi się wydaje, że coś nie tak, powinien być jeszcze jakiś dodatkowy warunek ?

Zastanawiam się nad tym, że \(\displaystyle{ \sin x \in \left<-1,1\right>}\), to iloczyn miejsc zerowych ten funkcji \(\displaystyle{ \in \left<0,1\right>}\), a suma \(\displaystyle{ \left<0,2\right>}\)

Hmm... Może jakiś sugestie ?

[lukasz1804]

Zamiast \(\displaystyle{ \sin^4x-2\sin^2\cos^2x-6m=0}\) powinno być \(\displaystyle{ 2\sin^4x-2\sin^2x\cos^2x-6m=0}\). Stąd po podzieleniu stronami przez \(\displaystyle{ 2}\) i zastosowaniu jedynki trygonometrycznej mamy \(\displaystyle{ 2\sin^4x-\sin^2x-3m=0}\). Należy wyznaczyć, dla jakich \(\displaystyle{ m}\) równanie

\(\displaystyle{ 2t^2-t-3m=0}\)

posiada rozwiązanie w przedziale \(\displaystyle{ \langle 0,1\rangle}\) (w zbiorze wartości funkcji \(\displaystyle{ x\mapsto\sin^2x}\)).

Można w tym celu rozważyć pewne warunki związane z wyróżnikiem trójmianu i wzorami Viete'a, jednak prostszą metodą wydaje się być rozważenie funkcji \(\displaystyle{ t\mapsto 2t^2-t}\) wyłącznie na przedziale \(\displaystyle{ \langle 0,1\rangle}\) i wyznaczenie zbioru tak określonej funkcji - do tego zbioru należą wartości wyrażenia \(\displaystyle{ 3m}\).

[FollowerOfMaths]

Można w tym celu rozważyć pewne warunki związane z wyróżnikiem trójmianu i wzorami Viete'a, jednak prostszą metodą wydaje się być rozważenie funkcji \(\displaystyle{ t\mapsto 2t^2-t}\) wyłącznie na przedziale \(\displaystyle{ \langle 0,1\rangle}\) i wyznaczenie zbioru tak określonej funkcji - do tego zbioru należą wartości wyrażenia \(\displaystyle{ 3m}\).

Hmm. Nie za bardzo rozumiem, o co Ci chodzi. Możesz to rozwiązać tym sposobem ?

[lukasz1804]

Wyznaczając wartość najmniejszą i największą funkcji kwadratowej \(\displaystyle{ \langle 0,1\rangle\ni t\mapsto 2t^2-t}\) łatwo się przekonać, że zbiorem wartości tej funkcji jest przedział \(\displaystyle{ \left\langle -\frac{1}{4},1\right\rangle}\). Zatem równanie \(\displaystyle{ 2t^2-t-3m=0}\) ma rozwiązanie dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ 3m\in\left\langle -\frac{1}{4},1\right\rangle}\), tj. gdy \(\displaystyle{ m\in\left\langle -\frac{1}{12},\frac{1}{3}\right\rangle}\).