Równania trygonometryczne

[FollowerOfMaths]

Rozwiąż równania:

\(\displaystyle{ \sin 2x+\cos3x=\cos x}\)


\(\displaystyle{ \cos x \sin 7x=\cos3x\sin5x}\)

\(\displaystyle{ \sin ^{2}2x =\sin3x+\sin x}\)

Za bardzo nie wiem, jak to rozwiązać..

[scyth]

Zamieniaj wszystko na sinusy/cosinusy, dostaniesz wielomian i tyle.

[FollowerOfMaths]

1.2 \(\displaystyle{ \sin 2x=2\sin x\cos x}\)

\(\displaystyle{ \cos 3x=4\cos ^{3}x-3 \cos x}\)

\(\displaystyle{ 2 \sin x \cos x+4 \ \cos ^{3}x-3 \ co sx= \ \cos x}\)

\(\displaystyle{ 2 \sin x \ \cos x= 4 \ \cos ^{3} x + 4 \cos x}\) /:4

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \sin x \cos x= \ \cos x (\ \cos ^{2} x +1 )}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \sin x \cos x=- \sin ^{2} \cos x}\)

\(\displaystyle{ \ \sin x \ \cos x (\ \sin x + \frac{1}{2}) = 0}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow
\sin x= - \frac{1}{2} \vee \ \sin x=0 \vee \cos x=0}\)

\(\displaystyle{ x= - \frac{\pi}{3} +k\pi \vee x=n\pi \vee x= \frac{\pi}{2}+m\pi k, n, m \in C}\)

[scyth]

Błąd w czwartej linii - nie ma minusa przy przenoszeniu na drugą stronę.

[FollowerOfMaths]

ok, rozumiem, a co z tym równaniem:

\(\displaystyle{ \cos x \sin 7x=\cos3x\sin5x}\)-- 2 sty 2013, o 15:15 --Zapisałem to tak:
\(\displaystyle{ \sin 7x = \sin (5x+2x)}\)

\(\displaystyle{ \cos 3x= \cos(x+2x)}\)

wyszło mi:
\(\displaystyle{ \ctg x \cdot -\ctg 5x =0}\) dobrze ?

[scyth]

Może skorzystaj ze wzoru na sumę/różnicę sinusów?
\(\displaystyle{ \sin A \pm \sin B = 2 \sin \frac{A \pm B}{2} \cos \frac{A \mp B}{2}}\)

[FollowerOfMaths]

Nie za bardzo wiem, jak to wykorzystac tutaj

[scyth]

\(\displaystyle{ \cos x \sin 7x \\
\begin{cases} \frac{A+B}{2} = 7 \\ \frac{A-B}{2} = 1 \end{cases} \\
\Rightarrow A=8 \ \wedge \ B=6 \\
\cos x \sin 7x = \frac{1}{2} \left( \sin 8x + \sin 6x \right)}\)
Analogicznie z drugim i zobacz co dostaniesz.

[FollowerOfMaths]

a dlaczego nie np. :

\(\displaystyle{ \\ \begin{cases} \frac{A-B}{2} = 7 \\ \frac{A+B}{2} = 1 \end{cases} \\}\)
?

[scyth]

A czy to coś zmienia?

[FollowerOfMaths]

A czy to coś zmienia?

Wg mnie, to są zupełnie inne układy rownań

[scyth]

To je pokaż i zobaczymy, czy jest między nimi różnica.

[FollowerOfMaths]

W jednym roz jest: 8,-6 w drugim 8 i 6

[scyth]

No i coś to zmienia? Wstaw do rozwiązania i zobacz czy jest inaczej
A co z drugim? Zrobisz?