Równanie trygonometryczne

[taton]

Witam.

Mam do rozwiązania następujące równanie

\(\displaystyle{ 2 \cdot \cos ^{2} x= \cos x+1}\)

i rozwiązuję je w następujący sposób

\(\displaystyle{ 2 \cdot \cos ^{2} - \cos x - 1=0}\)

dodaję pomocniczy parametr \(\displaystyle{ \cos x=t}\)

otrzymuję \(\displaystyle{ 2 \cdot t ^{2} - t + 1 =0}\)

Obliczam pierwiastki tego równania kwadratowego z użyciem \(\displaystyle{ \Delta}\)
i wychodzi mi \(\displaystyle{ x _{1}=1}\) oraz \(\displaystyle{ x _{2}=- \frac{1}{2}}\)

Po podstawieniu i uwzględnieniu okresowości funkcji \(\displaystyle{ y= \cos x}\) otrzymuję \(\displaystyle{ \cos x=1 \Leftrightarrow x=2 \pi n}\)
oraz \(\displaystyle{ \cos x=- \frac{1}{2} \Leftrightarrow x=2 \pi n+ \frac{2}{3} \pi \vee x=2 \pi n- \frac{2}{3} \pi}\)

Niby wszystko jest ok, ale kiedy sprawdzałem wynik w odpowiedziach to tam było tylko \(\displaystyle{ x= \frac{2 \pi n}{3}}\)

Mógłby ktoś wskazać mi gdzie popełniam błąd w obliczeniach? Bardzo proszę o pomoc.

[mlody3k]

Zauważ, że każda z twoich odpowiedzi może zostać zapisana w postaci \(\displaystyle{ \frac{2\pi n}{3}}\).

Na przykład dla \(\displaystyle{ n}\) podzielnych przez \(\displaystyle{ 3}\) czyli \(\displaystyle{ n=3,6,9...}\) otrzymujesz kolejno \(\displaystyle{ \frac{2\pi \cdot 3}{3}=2\pi}\), \(\displaystyle{ \frac{2\pi \cdot 6}{3}=2\pi \cdot 2}\) czyli liczby postaci \(\displaystyle{ 2\pi n}\) (pierwsza odpowiedź).

Analogicznie druga i trzecia postać generują liczby \(\displaystyle{ \frac{2\pi n}{3}}\) dla \(\displaystyle{ n}\) dających kolejno resztę \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 2}\) przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 3}\). Biorąc wszystko razem otrzymujesz wynik znajdujący się w odpowiedziach.

[Dilectus]

Taton, rąbnąłeś się tu:

otrzymuję \(\displaystyle{ 2 \cdot t ^{2} - t + 1 =0}\)

bowiem ma być:

\(\displaystyle{ 2 \cdot t ^{2} - t - 1 =0}\)

[Ponewor]

Tak, ale potem już liczył dobrze.