Nie umiem wyznaczyć zbioru wartości dla funkcji:
\(\displaystyle{ \sqrt{2}\sin x +\sin x \cos x +\sqrt{2}\cos x}\)
Z góry dziękuje za jakąś wskazówkę.
Zbiór wartości funkcji
-
Mortify
- Użytkownik
- Posty: 768
- Rejestracja: 22 lis 2007, o 22:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / MIMUW
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 164 razy
Zbiór wartości funkcji
wzór 1:
\(\displaystyle{ \sin{x}+\cos{x} = \sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin{x}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos{x})=\sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4})\sin{x}+\sin(\frac{\pi}{4})\cos{x})=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})}\)
Zatem \(\displaystyle{ \sin{x}+\cos{x} \in [-\sqrt{2},\sqrt{2}]}\)
Właściwe zadanie:
\(\displaystyle{ \sqrt{2}\sin{x}+\sin{x}\cos{x}+\sqrt{2}\cos{x}=\sqrt{2}(\sin{x}+\cos{x}) + \sin{x}\cos{x} + \frac{\sin^2{x}+\cos^2{x}}{2} - \frac{1}{2} = 2(\frac{\sin{x}}{\sqrt{2}}+\frac{\cos{x}}{\sqrt{2}}) +\frac{\sin^2{x}}{2} +\sin{x}\cos{x} + \frac{\cos^2{x}}{2} +1 -\frac{3}{2} =}\)
\(\displaystyle{ =2\Big(\frac{\sin{x}}{\sqrt{2}}+\frac{\cos{x}}{\sqrt{2}}\Big) + \Big(\frac{\sin{x}}{\sqrt{2}} + \frac{\cos{x}}{\sqrt{2}}\Big)^2 + 1 - \frac{3}{2} = \Big(\frac{\sin{x}}{\sqrt{2}}+\frac{\cos{x}}{\sqrt{2}} +1 \Big)^2 - \frac{3}{2}}\)
Teraz korzystamy ze wzoru 1:
\(\displaystyle{ \sin{x}+\cos{x} \in [-\sqrt{2},\sqrt{2}] \Rightarrow \frac{\sin{x}}{\sqrt{2}}+\frac{\cos{x}}{\sqrt{2}} +1 \in [0,2] \Rightarrow \Big(\frac{\sin{x}}{\sqrt{2}}+\frac{\cos{x}}{\sqrt{2}} +1\Big)^2 \in [0,4] \Rightarrow \Big(\frac{\sin{x}}{\sqrt{2}}+\frac{\cos{x}}{\sqrt{2}} +1\Big)^2 - \frac{3}{2} \in \Big[-\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\Big]}\)
Czyli zbiór wartości to \(\displaystyle{ \Big[-\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\Big]}\)
\(\displaystyle{ \sin{x}+\cos{x} = \sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin{x}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos{x})=\sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4})\sin{x}+\sin(\frac{\pi}{4})\cos{x})=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})}\)
Zatem \(\displaystyle{ \sin{x}+\cos{x} \in [-\sqrt{2},\sqrt{2}]}\)
Właściwe zadanie:
\(\displaystyle{ \sqrt{2}\sin{x}+\sin{x}\cos{x}+\sqrt{2}\cos{x}=\sqrt{2}(\sin{x}+\cos{x}) + \sin{x}\cos{x} + \frac{\sin^2{x}+\cos^2{x}}{2} - \frac{1}{2} = 2(\frac{\sin{x}}{\sqrt{2}}+\frac{\cos{x}}{\sqrt{2}}) +\frac{\sin^2{x}}{2} +\sin{x}\cos{x} + \frac{\cos^2{x}}{2} +1 -\frac{3}{2} =}\)
\(\displaystyle{ =2\Big(\frac{\sin{x}}{\sqrt{2}}+\frac{\cos{x}}{\sqrt{2}}\Big) + \Big(\frac{\sin{x}}{\sqrt{2}} + \frac{\cos{x}}{\sqrt{2}}\Big)^2 + 1 - \frac{3}{2} = \Big(\frac{\sin{x}}{\sqrt{2}}+\frac{\cos{x}}{\sqrt{2}} +1 \Big)^2 - \frac{3}{2}}\)
Teraz korzystamy ze wzoru 1:
\(\displaystyle{ \sin{x}+\cos{x} \in [-\sqrt{2},\sqrt{2}] \Rightarrow \frac{\sin{x}}{\sqrt{2}}+\frac{\cos{x}}{\sqrt{2}} +1 \in [0,2] \Rightarrow \Big(\frac{\sin{x}}{\sqrt{2}}+\frac{\cos{x}}{\sqrt{2}} +1\Big)^2 \in [0,4] \Rightarrow \Big(\frac{\sin{x}}{\sqrt{2}}+\frac{\cos{x}}{\sqrt{2}} +1\Big)^2 - \frac{3}{2} \in \Big[-\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\Big]}\)
Czyli zbiór wartości to \(\displaystyle{ \Big[-\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\Big]}\)