Rozwiązywanie układów równań

[tweant]

Mam taki układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y= \frac{ \pi }{6} \\ \sin x+\cos y= \sqrt{3} \end{cases}}\)
Metodą wyznacznikową chyba nie mogę tego rozwiązać. Możecie mi powiedzieć jak inaczej się za to zabrać. Próbowałem w drugim równaniu podstawić zamiast \(\displaystyle{ y}\) \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{6} -x}\) ale do niczego mnie to nie doprowadziło. Z góry dzięki za pomoc.

[loitzl9006]

A zapisz może \(\displaystyle{ \cos\left( \frac{\pi}{6}-x \right)}\) jako \(\displaystyle{ \sin \left( \frac{\pi}{2}-\left( \frac{\pi}{6}-x \right) \right)}\)

tak jak

\(\displaystyle{ \cos x = \sin\left( \frac{\pi}{2} -x\right)}\)

i potem skorzystaj ze wzoru na sumę sinusów i jakoś powinno pójść.

[tweant]

Doszedłem do wyniku \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{3}+2k \pi ,k \in C}\). W układzie równań nie należy również wyznaczyć y?

[loitzl9006]

Doszedłem do wyniku \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{3}+2k \pi ,k \in C}\)

ok

W układzie równań nie należy również wyznaczyć y?

Trzeba wyznaczyć \(\displaystyle{ y}\).

[tweant]

Dzięki. Y wyszło takie samo.

[loitzl9006]

% ... qrt%283%29

\(\displaystyle{ y}\) nie będzie takie samo jak \(\displaystyle{ x}\): weź podstaw \(\displaystyle{ x=y= \frac{\pi}{3}}\) do drugiego równania układu a otrzymasz sprzeczność...

[tweant]

Racja. \(\displaystyle{ y=- \frac{ \pi }{6}+2k \pi}\)

[loitzl9006]

Jeżeli \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{3} \red + \black 2k \pi}\), to \(\displaystyle{ y=- \frac{\pi}{6} \red - \black 2k\pi}\) bo jakby było \(\displaystyle{ y=- \frac{\pi}{6} \red + \black 2k\pi}\) to nie spełnia pierwszego.
Druga ewentualność to
\(\displaystyle{ \begin{cases} x= \frac{ \pi }{3} \red - \black 2k \pi \\ y=- \frac{\pi}{6} \red + \black 2k\pi \end{cases}}\)