Oblicz, uprość podane wyrażenia.

[sardom]

1) Oblicz podane wyrażenia:
a) \(\displaystyle{ \sqrt{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x}\) jeżeli \(\displaystyle{ \tg x = -3}\)
b) \(\displaystyle{ \frac{2\tg x - 3\ctg x}{ \sqrt{3}\ctg x }}\) jeżeli \(\displaystyle{ \sen x = \frac{4}{5}}\)
c) \(\displaystyle{ 3\sin x -\tg x}\) jeżeli \(\displaystyle{ \ctg x = -2}\)
d) \(\displaystyle{ \sin ^{3} x-\cos ^{3} x}\) jeżeli \(\displaystyle{ \sin x - \cos x = 0,2}\)
Proszę o jakieś wskazówki od czego zacząć, ewentualnie co za co podstawić.

2) Uprość podane wyrażenia.
a) \(\displaystyle{ \frac{\sin ^{2} x}{1 +\cos x}}\)
b) \(\displaystyle{ (\tg x + \sin x) \cdot \ctg x}\)
c) \(\displaystyle{ (\tg x + \ctg x) \cdot \frac{1}{\sin x \cdot \cos x}}\)
d) \(\displaystyle{ \frac{1 - \cos ^{2} x}{\sin ^{2}x-1 }}\)

3) Oblicz wartości podanych wyrażeń, korzystając z wzorów redukcyjnych:
a) \(\displaystyle{ \tg \left( - \frac{5}{4}\pi \right)}\)
b) \(\displaystyle{ \ctg \left( - \frac{26}{3}\pi \right)}\)
W tych przykładach przewija mi się np. tangens 270 stopni, a taki nie istnieje i nie wiem czy traktować go jak 0 czy szukać innych przekształceń.

[janusz47]

A co sam nam przedstawisz? Nic?

[sardom]

co do 3.
a) \(\displaystyle{ \tg\left( -\frac{5}{4}\pi \right) = \tg\left( - \frac{3}{2}\pi + \frac{\pi}{4} \right) = -\tg\left( \frac{3\pi}{2}- \frac{\pi}{4} \right) = -\ctg \frac{\pi}{4} = -1}\)
b)
\(\displaystyle{ \ctg\left( - \frac{26}{3}\pi \right) = \ctg \left( - \frac{27}{3}\pi + \frac{\pi}{3} \right)= -\ctg \left( \frac{27}{3}\pi - \frac{\pi}{3} \right) = -\ctg\left( 7\pi- \frac{\pi}{3} \right) = \frac{ \sqrt{3} }{3}}\)
Wyszło poprawnie z odpowiedziami, ale zastanawiam się czy pisanie \(\displaystyle{ \ctg 7\pi}\) w międzyczasie jest poprawne

Co się tyczy dwóch pierwszych zadań to żadna z moich prób nie prowadzi do rozwiązania. Dodam że nie mam w szkole matmy na poziomie rozszerzonym, a taką maturę chcę zdać.

Ad 2:
c)\(\displaystyle{ (\tg x + \sin x) \cdot \ctg x = \frac{\sin ^{2}x + \cos ^{2}x }{\cos x \cdot \sin x} \cdot \frac{1}{\sin x \cdot \cos x } = \frac{1}{ {\left( \sin x \cdot \cos x\right) } ^{2} }}\)

b) \(\displaystyle{ (\tg x + \sin x) \cdot \ctg x = \tg x \cdot \ctg x + \sin x \cdot \ctg x =1+ \tg x \cdot \cos x \cdot \ctg x= 1 + 1 \cdot \cos x = 1 + \cos x}\)
skorzystałem z tego, że:
\(\displaystyle{ \tg x = \frac{\sin x}{\cos x}}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ \sin x = \cos x \cdot \tg x}\)

Dalsze wskazówki mile widziane.

[janusz47]

Zad.1
a) Rozwiąż układ równań \(\displaystyle{ \tan (x) = -3}\) i \(\displaystyle{ \sin ^{2}(x) + \cos ^{2 }(x) =1}\).
Oblicz po dwie wartości \(\displaystyle{ \sin (x), \ \cos (x).}\).
Uwzględnij znaki sinusa i kosinusa w odpowiednich ćwiartkach prostokątnego układu współrzędnych.
Podstaw obliczone wartości do wyrażenia.

b) Czy na pewno tylko \(\displaystyle{ x = \frac{4}{5}?}\)

Nie rozumiem pytania " czy pisanie \(\displaystyle{ \ctg (7x)}\) w międzyczasie jest poprawne"?

[sardom]

Chodzi mi o to czy jak coś rozwiązuję i dochodzę do, np. \(\displaystyle{ -\tg \left( \frac{3\pi}{2}- \frac{\pi}{4} \right)}\) to czy to jest poprawne. Bo \(\displaystyle{ \tg 90 ^{o} +k \cdot 180 ^{o}; k\in \mathbb{C}}\) jest nieokreślony, fakt, biorąc pod uwagę cały nawias stojący przy tg, to on jest inny niż te 270 stopni, ale wole się upewnić czy nie ma tu błędu.

Tak, w zadaniu pierwszym b) jest tylko \(\displaystyle{ \sin x = \frac{4}{5}}\).

Ad 1:
W podpunktach a) i c) zrobiłem podaną metodą i wyszło odpowiednio:
a)
\(\displaystyle{ \frac{12 \sqrt{5}-10 }{20}}\) dla: \(\displaystyle{ \cos x = - \frac{ \sqrt{10} }{10} \; \sin x = \frac{3 \sqrt{10} }{10}}\) \(\displaystyle{ \cup\ \frac{ \sqrt{10}-12 \sqrt{5} }{20}}\) dla: \(\displaystyle{ \cos x = \frac{ \sqrt{10} }{10} \; \sin x = -\frac{3 \sqrt{10} }{10}}\)
c)
\(\displaystyle{ \frac{6 \sqrt{5}+5 }{10}\ \cup \ \frac{5-6 \sqrt{5} }{10}}\)

-- 25 gru 2012, o 20:19 --

W b) podobnie \(\displaystyle{ \sin x = \frac{4}{5}}\)
z "jedynki trygonometrycznej" wyszło mi, że \(\displaystyle{ \cos x = \frac{3}{5} \cup \cos x = - \frac{3}{5}}\)
dalej \(\displaystyle{ \tg x = \frac{4}{3} \ lub \ \tg x = - \frac{4}{3}}\)
\(\displaystyle{ \ctg x = \frac{3}{4} \ lub \ \ctg x = - \frac{3}{4}}\)
więc:
\(\displaystyle{ \frac{2\tg x - 3\ctg x}{ \sqrt{3}\ctg x } = \frac{5 \sqrt{3} }{27}}\) dla \(\displaystyle{ \sin x = \frac{4}{5}}\)

Właściwie z tymi zadaniami już się uporałem, dzięki za wskazówki. A mogę Cię jeszcze prosić o wyjaśnienie co oznacza to, co stoi przy ctg (przepisuję tak jak jest w książce)
\(\displaystyle{ \tg 3\pi + \ctg 12\pi \frac{1}{2}\pi}\). W treści jest oblicz podane wyrażenie.

[janusz47]

Sinus "zjadłeś" i napisałeś samo \(\displaystyle{ x = \frac{4}{5}.}\)

Zadanie 1
b) Zamieniasz tangens i kotangens wyrazenia na sinus i kosinus,
otrzymujesz
\(\displaystyle{ \frac{2\sin ^{2}(x) - 3\cos ^{2}(x)}{\sqrt{3}\cos ^{2}(x)}.}\)

Podstawiasz \(\displaystyle{ \sin ^2(x) = \frac{16}25}, \cos ^{2}(x) = \frac{9}{25}.}\)

Jeśli rozwiązujesz poprawnie, to to co otrzymujesz musi być poprawne.

[sardom]

Mogę jeszcze prosić o podpowiedź, co się dzieje z okresem funkcji gdy mamy np. równanie \(\displaystyle{ \cos ^{2}(x)=0}\)
Wyszło mi, że \(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{2} +2k\pi}\) a powinno wyjść \(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{2} + k\pi}\)

[janusz47]

Jeśli narysujesz wykres funkcji \(\displaystyle{ y = \cos(x)}\), to zauważysz, że przecina on oś Ox w punktach: \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}, \frac{3}{2}\pi,...}\) - oddalonych od siebie o \(\displaystyle{ \pi.}\)
Stąd wynika, że rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ \cos(x) = 0}\) jest zbiór \(\displaystyle{ \{ x: x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k\in Z \}.}\)