Jaki to trójkąt (ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny)

[Tomek Sierp]

Utknąłem z zadaniem ze zbioru zadań Dróbki, 3 i 4 LO:

Niech \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\) oznaczają kąty trójkąta. Jaki to trójkąt (ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny), jeśli:

a) \(\displaystyle{ \cos (\alpha)<\cos (\beta + \gamma)}\)
b) \(\displaystyle{ \cos (\gamma)=\cos (\alpha+\beta)}\)

Próbowałem coś główkować z wzorem na sumę argumentów cosinusa, ale nigdzie mnie to nie prowadzi:
\(\displaystyle{ \cos (\alpha)\cos (\beta)=\cos (\alpha)\cos (\beta)-\sin (\alpha)\sin (\beta)}\)
Przykładowo dla b):
\(\displaystyle{ \cos (\alpha)\cos (\beta)=\cos (\gamma) + \sin (\alpha)\sin (\beta)}\)
Jak rozumiem \(\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma}\) odnosi się do dowolnego kąta w trójkącie, a nie do jakiegoś szczególnego: największego, najmniejszego, prostego ... No bo tutaj chyba nie ma żadnej konwencji, a treść niczego nie sugeruje.

Proszę o jakieś wskazówki

[cosinus90]

Generalnie to postaraj się bardziej pomyśleć, jakie wartości przyjmuje funkcja cosinus dla kątów ostrych, a jakie dla rozwartych.
Drugi podpunkt to możesz rozwiązać nawet układem równań.

[Tomek Sierp]

Co do:
a) \(\displaystyle{ \cos (\alpha)<\cos (\beta + \gamma)}\)

To myślę, że jeśli jeden z kątów byłby prosty, to nierówność musiałaby być spełniona, również wtedy, kiedy podstawiłbym 90 stopni pod n.p. \(\displaystyle{ \beta}\) Wtedy \(\displaystyle{ \cos (\beta + \gamma)}\) musiałoby być ujemne, a \(\displaystyle{ \cos (\alpha)}\) dodatnie. Nierówność nie byłaby więc spełniona i trójkąt ten nie jest prostokątny.

Klucz mówi "rozwartokątny", ale jeśli wstawimy sobie kąt rozwarty za \(\displaystyle{ \beta}\) to dwa pozostałe są ostrokątne (bo tylko jeden kąt może być rozwarty w trójkącie).
Wtedy \(\displaystyle{ \cos (\beta + \gamma)}\) jest ujemne i nie może być większe od dodatniego \(\displaystyle{ \cos (\alpha)}\).

Wychodziłoby więc, że trójkąt jest ostrokątny, czy się gdzieś mylę?

[cosinus90]

ale jeśli wstawimy sobie kąt rozwarty za \(\displaystyle{ \beta}\) to dwa pozostałe są ostrokątne

Kąty nie są ostrokątne, tylko ostre jeśli już.
Dlaczego akurat za \(\displaystyle{ \beta}\) ?
Rozważ przypadek, w którym kąt \(\displaystyle{ \gamma}\) jest rozwarty.

[Tomek Sierp]

Hmmm, wiem, że brnę w jakiś poboczny wątek, ale ciekawe jest to, że
\(\displaystyle{ \cos(\gamma)=\cos(\alpha+\beta)}\)

które w rozwiązaniu ma "prostokątny", też nie mogłoby być takie jak w kluczu idąc rozumowaniem, że alpha, beta, gamma są którymkolwiek kątem.

Wrzucamy 90 do środka \(\displaystyle{ \cos(\alpha+\beta)}\) i równanie nie może być spełnione.

Coś to podstawianie nie jest takie dowolne albo rozwiązanie wymaga założeń nie wyznaczonych jasno przez treść zadania.

[Dilectus]

Hmm...

\(\displaystyle{ \cos (\gamma)=\cos (\alpha+\beta)}\)

W trójkącie mamy przecież

\(\displaystyle{ \alpha+\beta+\gamma = \pi}\)

zatem

\(\displaystyle{ \alpha +\beta=\pi -\gamma}\)

\(\displaystyle{ \cos (\gamma)=\cos (\alpha+\beta)=\cos (\pi-\gamma)}\)

więc

\(\displaystyle{ \cos (\gamma)=\cos (\pi-\gamma)}\)

a z wzorów redukcyjnych wiadomo, że:

\(\displaystyle{ \cos (\pi-x)=-\cos (x)}\)

czyli

\(\displaystyle{ \cos (\gamma)=-\cos (\gamma)}\)

a to zachodzi tylko wtedy, gdy

\(\displaystyle{ \cos (\gamma)=0}\),

czyli gdy

\(\displaystyle{ \gamma = \frac{1}{2} \pi}\)

Zatem trójkąt jest prostokątny...

[cosinus90]

Wrzucamy 90 do środka \(\displaystyle{ \cos(\alpha+\beta)}\) i równanie nie może być spełnione.

Oczywiście że jest spełnione.
Zastanów się - skoro cosinusy są sobie równe, to i kąty muszą być sobie równe. Wobec tego kąt \(\displaystyle{ \gamma}\) jest sumą kątów \(\displaystyle{ \alpha}\) oraz \(\displaystyle{ \beta}\). Wszystkie trzy łącznie mają tyle, ile wynosi suma kątów w trójkącie. Teraz już prosto.

[Tomek Sierp]

Tomek Sierp napisał(a):
Wrzucamy 90 do środka i równanie nie może być spełnione.

cosinus 90 napisał:
Oczywiście że jest spełnione

No tak, równanie: \(\displaystyle{ \cos(\gamma)=\cos(\alpha+\beta)}\) jest spełnione.

Problem tylko, że dla \(\displaystyle{ \cos(\gamma)}\) zostaje 90 stopni, a dla \(\displaystyle{ \alpha}\) zero.
To już nie jest trójkąt i równanie nie dotyczy treści zadania, więc nie ma sensu tego rozważać.
Podobna historia jest z \(\displaystyle{ \cos (\alpha)<\cos (\beta + \gamma)}\)

Dziękuję Wam obydwu za pomoc.

[cosinus90]

Myślałem, że pisząc "wrzucamy 90 do środka" chodzi Ci o to, że suma tych 2 kątów wynosi 90 stopni, a nie jeden z nich. Nie zrozumieliśmy się.
W tym przypadku nie ma znaczenia, ile dokładnie wynoszą kąty \(\displaystyle{ \alpha}\) oraz \(\displaystyle{ \beta}\). Jedynym istotnym faktem jest, że ich suma wynosi 90 stopni.