Równanie i nierówność trygonometryczna

[Przybysz]

1. Rozwiaz nierówność
\(\displaystyle{ 2\cos ^{2}x -1 - \cos x \le 0}\)
Tak, wiem wstawić za \(\displaystyle{ \cos x=t}\) ale co dalej?

2. Rozwiaz równanie
\(\displaystyle{ \sin ^{2}x + \sqrt{3} - \sqrt{3}\sin ^{2}x = ( \sqrt{3} + 1)\sin x\cos x}\)

[wujomaro]

1.
\(\displaystyle{ 2t^{2}-t-1 \le 0}\)
I policz deltę.
Pozdrawiam!

[loitzl9006]

\(\displaystyle{ \sin ^{2}x + \sqrt{3} - \sqrt{3}\sin ^{2}x = ( \sqrt{3} + 1)\sin x\cos x \\ \\ \sin^2x-\sin x \cos x + \sqrt{3} \cos^2x =\sqrt{3} \sin x \cos x \\ \\ \sin^2x-2\sin x \cos x + \cos^2x + \left( \sqrt{3}-1\right) \cos^2x = \left( \sqrt{3}-1 \right) \sin x \cos x \\ \\ \left( \sin x - \cos x\right)^2=\cos x\left( \sqrt{3}-1\right) \left( \sin x - \cos x\right) \\ \\ \sin x - \cos x = \left( \sqrt{3}-1 \right) \cos x \\ \\ \sin x = \sqrt{3} \cos x \\ \\ \sin^2x=3\cos^2x \\ \\ 1-\cos^2x = 3\cos^2x \\ \\ 4\cos^2x = 1 \\ \\ \cos x = -\frac12 \ \ \ \mbox{lub} \ \ \ \cos x=\frac12 \\ \\ x= \frac{\pi}{3}+2k\pi \ \ \mbox{lub} \ \ x=- \frac{\pi}{3} + 2k\pi \ \ \mbox{lub} \ \ x= \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \ \ \mbox{lub} \ \ x=- \frac{2\pi}{3} + 2k\pi}\)

Było jednak podnoszenie do kwadratu przy przejściu z \(\displaystyle{ \sin x = \sqrt{3} \cos x}\) do \(\displaystyle{ \sin^2x=3\cos^2x}\) - więc weryfikujemy wszystkie cztery rozwiązania, podstawiając kolejno: \(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{3}, \ x= -\frac{\pi}{3}, \ x= \frac{2\pi}{3} , \ x=- \frac{2\pi}{3}}\) do równania \(\displaystyle{ \sin x = \sqrt{3} \cos x}\) i sprawdzamy czy powstaje prawdziwa równość. Jeśli tak, to dane rozwiązanie jest ok, w przeciwnym przypadku odrzucamy je.

Wg mnie rozwiązanie tego równania wygląda tak:

\(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{3}+2k\pi \ \ \mbox{lub} \ \ x=- \frac{2\pi}{3} + 2k\pi}\)