udowodnij tożsamość

[malenstwo31]

\(\displaystyle{ \frac{1+ \tg ^{2} (45+ \alpha) }{ \tg ^{2}(45+ \alpha )-1 }= \frac{1}{ \sin 2 \alpha }}\)

[loitzl9006]

Ale to chyba nie jest prawdziwa ta tożsamość...

[Mariusz M]

loitzl9006, czemu nie jest prawdziwa ?

\(\displaystyle{ \cos{2x}=\frac{1-\tan^{2}{x}}{1+\tan^{2}{x}}\\
\cos{\left( \frac{\pi}{2}+2x \right) }=-\sin{2x}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1-\tan^{2}{x}}{1+\tan^{2}{x}}= \frac{ \frac{\cos^{2}{x}-\sin^{2}{x}}{\cos^{2}{x}} }{ \frac{\cos^{2}{x}+\sin^{2}{x}}{\cos^{2}{x}} }
=\frac{\cos^{2}{x}-\sin^{2}{x}}{\cos^{2}{x}+\sin^{2}{x}}=\cos^{2}{x}-\sin^{2}{x}
=\cos{2x}}\)

Ten wzorek z tangensem znany jest tym którzy zetknęli się z całkowaniem
złożenia funkcji wymiernej i funkcji trygonometrycznych

[loitzl9006]

mariuszm, wczoraj było po prawej \(\displaystyle{ \frac{1}{\sin^2x}}\).