rozwiązać równanie trygonometryczne

[theoldwest]

rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \cos \left( x \right) -\sin \left( x \right) =\cot \left( x \right) -\tan \left( x \right)}\), \(\displaystyle{ x \in \left[ \frac{-\pi}{3},\frac{5\pi}{6} \right]}\)

Proszę o sprawdzenie rozwiązania.

\(\displaystyle{ f(x)=\cos(x)-\sin(x)-\cot(x)+\tan(x)}\) \(\displaystyle{ , f:(0,\frac{\pi}{2}) \rightarrow \mathbb{R}}\)

\(\displaystyle{ f'( x )=-\sin( x )-\cos( x )+\frac{1}{\sin^2( x)}+\frac{1}{\cos^2( x)}>0}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=- \infty}\), \(\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^{-}} f(x)= \infty}\), \(\displaystyle{ f(\frac{\pi}{4})=0}\)

\(\displaystyle{ g(x)=\cos(x)-\sin(x)-\cot(x)+\tan(x), g:(-\frac{\pi}{2},0) \rightarrow \mathbb{R}}\)

\(\displaystyle{ g'( x )=-\sin( x )-\cos( x )+\frac{1}{\sin^2( x)}+\frac{1}{\cos^2( x)}>0}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow -\frac{\pi}{2}^{+}} g(x)=- \infty}\) , \(\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{3}} g(x)>0}\)

\(\displaystyle{ h(x)=\cos(x)-\sin(x)-\cot(x)+\tan(x), h:(\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{6}] \rightarrow \mathbb{R}}\)

\(\displaystyle{ h'( x )=-\sin( x )-\cos( x )+\frac{1}{\sin^2( x)}+\frac{1}{\cos^2( x)}>0}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^{+}} h(x)=- \infty}\), \(\displaystyle{ h(\frac{5\pi}{6})<0}\)

\(\displaystyle{ f,g,h}\) są ciągłe w swych dziedzinach

Jedynym rozwiązaniem równania jest \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4}}\)

[lukasz1804]

Popraw wartość drugiej granicy dla funkcji \(\displaystyle{ g}\).

Można też inaczej rozwiązać dane równanie.

\(\displaystyle{ \cos x-\sin x=\cot x-\tan x\implies \cos x-\sin x=\frac{\cos x}{\sin x}-\frac{\sin x}{\cos x}\implies \cos x-\sin x=\frac{(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)}{\sin x\cos x}\implies \left(\cos x-\sin x=0\vee\frac{\cos x+\sin x}{\sin x\cos x}=1\right)\implies\left(\tan x=1\vee\tan x+\frac{1}{\tan x}=1\right)}\)

Drugie z otrzymanych równań nie ma rozwiązania, jedynym rozwiązaniem pierwszego jest \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\).

[theoldwest]

Popraw wartość drugiej granicy dla funkcji \(\displaystyle{ g}\).

Nie będzie \(\displaystyle{ - \infty}\)?

[lukasz1804]

Zamiast granicy w \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) powinna być granica lewostronna w zerze.

[theoldwest]

A widzę (zabrakło mi minusa przy \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\)):

\(\displaystyle{ g(x)=\cos(x)-\sin(x)-\cot(x)+\tan(x), g:(-\frac{\pi}{2},0) \rightarrow \mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{ g'( x )=-\sin( x )-\cos( x )+\frac{1}{\sin^2( x)}+\frac{1}{\cos^2( x)}>0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow -\frac{\pi}{2}^{+}} g(x)=- \infty}\) , \(\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow \frac{-\pi}{3}} g(x)>0}\)

Teraz OK (zarówno prawdziwość tego co napisałem jak i słuszność całego rozumowania)?