funkcja odwrotna z użyciem logarytmu

[arkak]

Witam! Mam problem z rozwiązaniem poniższego przykładu nigdy niczego podobnego nie robiłam i nie mam pojęcia jak się za to zabrać ale podejrzewam, że za pomocą logarytmu.
Trzeba wyznaczyc funkcję odwrotną do:

\(\displaystyle{ y= 3^{arcsin x^{2} }}\) dla \(\displaystyle{ x \in (-1;0)}\)
\(\displaystyle{ x= 3^{arcsin y^{2} }}\)
i pomyślałam żeby zrobić to przez logarytm ale szczerze nie wiem jak.. prosze o pomoc

[Vardamir]

Zlogarytmuj obie strony, logarytmem o podstawie \(\displaystyle{ 3}\)

[arkak]

Nie wiem jak mam to zrobić bo wychodzi mi to samo.

\(\displaystyle{ log_{3} 3^{x} = log_{3} 3^{ 3^{arcsin y^{2}} }}\)
\(\displaystyle{ xlog_{3} 3 = 3^{arcsin y^{2}}log_{3} 3 / log_{3} 3}\)
\(\displaystyle{ x=3^{arcsin y^{2}}\)

[Vardamir]

To co zapisałaś to faktycznie to samo. Ale mi chodzi o coś takiego:

\(\displaystyle{ y= 3^{\arcsin x^{2} } \\ \\
\log_{3} y =\log_{3} 3^{\arcsin x^{2} } \\ \\
\log_{3} y =\arcsin x^{2}}\)

I teraz z własności funkcji arcus.

[arkak]

czyli:
\(\displaystyle{ sin log _{3}y= x^{2}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{sin log _{3}y} = x}\)
wiec funkcja odwrotna

\(\displaystyle{ y=\sqrt{sin log _{3}x}}\)

a mam jeszcze pytanie zbiór wartości \(\displaystyle{ y= 3^{arcsin x^{2} }}\) wynosi \(\displaystyle{ (1; 3^{ \frac{ \pi }{2} })}\) ?

[Vardamir]

a mam jeszcze pytanie zbiór wartości \(\displaystyle{ y= 3^{arcsin x^{2} }}\) wynosi \(\displaystyle{ (1; 3^{ \frac{ \pi }{2} })}\) ?

Tak.

Ale odnośnie funkcji odwrotnej to będzie jeszcze trochę inaczej.
\(\displaystyle{ \log_{3} y =\arcsin x^{2} \\ \\
\sin (\log_{3} y)=x^2 \\ \\
|x|=\sqrt{\sin (\log_{3} y)}}\)

Zatem \(\displaystyle{ x=\pm \sqrt{\sin (\log_{3} y)}}\)

[arkak]

Faktycznie zapomniałam o tym. Bardzo dziękuje za pomoc!