Suma sinusów równa 0.

[czekoladowy]

\(\displaystyle{ \text{Wykaż prawdziwość implikacji:} \\ \begin{cases} \cos x = \cos y \\ \sin x= - \sin y \end{cases} \Rightarrow \sin (2012x) + \sin(2012y) =0.}\)

[tometomek91]

Skorzystamy ze wzorów sumę i różnicę sinusów i cosinusów, mamy:
\(\displaystyle{ \cos x - \cos y=-2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}=0\\
\sin x + \sin y=2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}=0}\)
Stąd \(\displaystyle{ \sin \frac{x+y}{2}=0}\), bo nie ma takiego kąta \(\displaystyle{ \alpha}\), żeby \(\displaystyle{ \sin \alpha = \cos \alpha =0}\). Zatem \(\displaystyle{ x=-y+2k \pi}\) dla \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\). Jak to podstawisz, to wyjdzie