Wykazywanie prawdziwości równości

[Transpluton]

Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ \alpha}\) należy od 180 stopni do 270 stopni, to:

\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{1+\sin \alpha }{1-\sin \alpha } }- \sqrt{ \frac{1-\sin \alpha }{1+\sin \alpha } }=-2\tg \alpha}\)

[mmoonniiaa]

Sprowadź lewą stronę do wspólnego mianownika. Przyda się wzór skróconego mnożenia. Zastanów się później jaki jest sinus i cosinus w III ćwiartce.

[loitzl9006]

\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{1+\sin \alpha }{1-\sin \alpha } }- \sqrt{ \frac{1-\sin \alpha }{1+\sin \alpha } }=-2\tg \alpha}\)

To nieprawda. Może miało być bez tego minusa przy tangensie ?

[Transpluton]

Sprowadź lewą stronę do wspólnego mianownika.

Jak robiłem to pierwszy raz to zacząłem od określenia w wartości w III ćwiartce, ale nic mi to sensownego nie dało. Spróbowałem sprowadzić do wspólnego mianownika, ale również nic mi nie wychodzi, czy wspólnym mianownikiem jest \(\displaystyle{ 1-\sin\alpha}\) ?
Mimo to dziękuję za wskazówkę ; )

-- 8 gru 2012, o 14:41 --

To nieprawda. Może miało być bez tego minusa przy tangensie ?

Nie, tam jest minus przy tangensie, nie wykluczam, że może jest to błąd w zbiorze, bo pochodzi z NPP, może nie są te książki jeszcze dobrze sprawdzone...

[mmoonniiaa]

loitzl9006, to jest prawda dla III ćwiartki.
Transpluton, wspólnym mianownikiem będzie \(\displaystyle{ \sqrt{\left( 1-\sin \alpha \right) \left( 1+\sin \alpha \right) }}\)

[loitzl9006]

loitzl9006, to jest prawda dla III ćwiartki.

Oczywiście masz rację Źle spojrzałem.

[Transpluton]

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{1+\sin \alpha } }{ \sqrt{ \cos ^{2} \alpha} }-\frac{ \sqrt{1-\sin \alpha } }{ \sqrt{ \cos ^{2} \alpha} }}\)

Mam coś takiego, pewnie gdzieś się pomyliłem

[mmoonniiaa]

W licznikach nic się nie zmieniło, to niedobrze.
\(\displaystyle{ L=\sqrt{ \frac{\left( 1+\sin \alpha\right)^2 }{\left( 1-\sin \alpha\right) \left( 1+\sin \alpha\right) } }- \sqrt{ \frac{\left( 1-\sin \alpha\right)^2 }{\left( 1+\sin \alpha\right) \left( 1-\sin \alpha\right) } }=...}\)

[loitzl9006]

i nie zapomnij że dla III ćwiartki (cosinus ujemny) \(\displaystyle{ \sqrt{\cos^2 \alpha } =-\cos \alpha}\)

[Transpluton]

No nic, dziękuję za pomoc i Tobie loitzl9006 i Tobie mmoonniiaa
Nie widzę, żadnych dalszych kroków, może w klasie ktoś ten przykład zrobi, a jak nie to się może dowiem na lekcji - nie będę pół dnia się męczył z jednym przykładem ;D
Dzięki za wskazówki, może się później uda xD
...a chociaż - moment ; )
Póki co zostawiam to co mam..

[mmoonniiaa]

Jesteś blisko rozwiązania.
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{\left( 1+\sin \alpha\right)^2 } }{ \sqrt{\cos^2 \alpha} }-\frac{ \sqrt{\left( 1-\sin \alpha\right)^2 } }{ \sqrt{\cos^2 \alpha} }}\)

Wiesz, co dalej?

[Transpluton]

Jesteś blisko rozwiązania.
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{\left( 1+\sin \alpha\right)^2 } }{ \sqrt{\cos^2 \alpha} }-\frac{ \sqrt{\left( 1-\sin \alpha\right)^2 } }{ \sqrt{\cos^2 \alpha} }}\)

Wiesz, co dalej?

Tak o ile nie mam braków z wartości bezwzględnej bo z licznikiem mam zaćmienie :
\(\displaystyle{ \sqrt{\cos^{2} \alpha }=-\cos \alpha}\), bo \(\displaystyle{ \left|\cos \alpha \right|=-\cos \alpha}\) , z uwagi na III ćwiartkę, chyba
Ale licznika nie widzę jak zrobić

[mmoonniiaa]

Mianownik zgadza się.
Licznikiem zajmujesz się w ten sposób:
\(\displaystyle{ \sqrt{\left( 1+\sin \alpha\right)^2 }=\left| 1+\sin \alpha\right| =1+\sin \alpha}\)
A to dlatego, że w III ćwiartce sinus jest ujemny, ale na pewno nie będzie mniejszy niż \(\displaystyle{ -1}\), czyli \(\displaystyle{ \sin \alpha \in \left\langle -1;0\right\rangle}\) stąd: \(\displaystyle{ 1+\sin \alpha \in \left\langle 0;1\right\rangle}\). Skoro tak, opuszczamy znak wartości bezwzględnej bez zmiany znaku, zgodnie z definicją:
\(\displaystyle{ \left| a\right| =a \text{ dla } a \ge 0}\)

Zastanów się, co stanie z licznikiem w drugim ułamku. Będzie tylko troszkę inaczej.

[Transpluton]

Zastanów się, co stanie z licznikiem w drugim ułamku. Będzie tylko troszkę inaczej.

Mam ;D
Dziękuję za całą pomoc, po prostu skleroza objęła wartość bezwzględną i nie widziałem niektórych zależności - udało się ; )