Oblicz wartość wyrażenia, gdy:

[Math_s]

Cześć!!! Bardzo proszę o pomoc w rozwiązywaniu tego typu przykładów:

Podaj wartość liczbową wyrażenia \(\displaystyle{ \sin ^{5} \alpha +\cos ^{5} \alpha}\), wiedząc, że \(\displaystyle{ \sin \alpha \cos \alpha = \frac{ \sqrt{2} }{3}}\)

[anna_]

Tutaj chyba najszybszym sposobem będzie policzenie tego sinusa i cosinusa.

\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin \alpha \cos \alpha = \frac{ \sqrt{2} }{3} \\ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 \end{cases}}\)

[Math_s]

czyli jak?
\(\displaystyle{ (\sin+\cos) ^{2}=1+ \frac{2 \sqrt{2} }{3}}\),dobrze? co dalej?-- 4 gru 2012, o 21:36 --ja myślałam, żeby coś pokombinować ze wzorami skróconego mnożenia, że np nawias do sin, cos do piątej, to iloczyn sin, cos do drugiej i trzeciej odjąć środek i przyrównać z jakimś innych wzorem skróconego, ale tak średnio wychodzi

[anna_]

Dobrze, ale chyba się do niczego nie przyda.

Musisz rozwiązać ten układ z poprzedniego posta.
Wyznacz sinus lub cosinus z pierwszego równania i podstaw do drugiego.

Niestety nie mogłam nic sensownego wymyślić, żeby jakoś dało się wzory zastosować.

[Math_s]

Poszłam za Twoją podpowiedzią i swoim pomysłem, coś wyszło, tylko, czy dobrze?
\(\displaystyle{ \sqrt{} \frac{3(2+ \sqrt{2}) }{3}*( \frac{3+ \sqrt{2} }{9}}\)
Prosżę, mógłby ktoś to wyliczyć?

[anna_]

Popraw zapis, bo jest nieczytelny.

Program podaje mi dwie odpowiedzi:

\(\displaystyle{ \frac{4 \sqrt{6}+\sqrt{3} }{27}\\ \\ \frac{-4 \sqrt{6}- \sqrt{3} }{27}}\)

[Math_s]

policzyłam z kombinacji wzorów skróconego i tego co mi podałaś, wyszło :
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3(3+2 \sqrt{2} )}(7-3 \sqrt{2})}{27}}\)

Jaki jest wzór na \(\displaystyle{ a ^{n}+b ^{n}}\) ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?

[anna_]

To jest to samo co \(\displaystyle{ \frac{4 \sqrt{6}+\sqrt{3} }{27}}\)


Suma piątych potęg jest tutaj:

Kod: Zaznacz cały

http://pl.wikipedia.org/wiki/Wzory_skróconego_mnożenia

Iloczyn był dodatni czyli mogą zajść dwie możliwości: sinus i cosinus są dodatnie lub sinus i cosinus są ujemne. Gdzieś zgubiłaś ten drugi przypadek.

[Math_s]

\(\displaystyle{ \sin ^{5} \alpha +\cos ^{5} \alpha =(\sin ^{2} \alpha +\cos ^{2} \alpha )(\sin ^{3} \alpha +\cos ^{3} \alpha )-\sin ^{2} \alpha \cos ^{2} \alpha (\sin \alpha +\cos \alpha )}\) oraz z tego układu równań, który mi podałaś, wyszło mi \(\displaystyle{ \sin \alpha +\cos \alpha = \sqrt{ \frac{3+ \sqrt{2} }{3}}}\). Tak więc mógł mi wyjść tylko jeden wynik, prawda? Widzisz, gdzie tu coś można poprawić?

[anna_]

\(\displaystyle{ (\sin\alpha+\cos\alpha) ^{2}=1+ \frac{2 \sqrt{2} }{3}}\)

\(\displaystyle{ \sin\alpha+\cos\alpha= \pm \sqrt{1+ \frac{2 \sqrt{2} }{3}}}\)

[Math_s]

Aha!!! Jesteś bezbłędna, dziękuję bardzo ;*
W każdym zadaniu tego typu, gdzie potęgę bd mieć nieparzystą typu 7,11, etc. Mam najpierw wyliczyć sin+cos, prawda? Próbowałam to zrobić jeszcze ze wzoru \(\displaystyle{ (a+b) ^{5}-....}\), też się da, prawda? Ale najszybciej z tych innych kombinacji? Bo mi w tym wyszedł pierwiastek do piątej potęgi i trochę mozolnie to się liczy. Jeszcze mam pytanie, czy postać, w jakiej pozostawiłam wynik, tzn z pierwiastkiem, ujdzie? Czy musi być taka ładna, jaką Ty podałaś? Wiem, że zadaję mnóstwo pytań, ale naprawdę muszę te wszystkie rzeczy wiedzieć. Dzięki jeszcze raz

[anna_]

Może gdyby podstawić:
\(\displaystyle{ \sin \alpha +\cos \alpha = \sqrt{ \frac{3+ \sqrt{2} }{3}}= \frac{ \sqrt{6} + \sqrt{3} }{3}}\)
wynik byłby ładniejszy.

Co do tych pytań, to myślę, że najpierw trzeba by rozpisać wzór i zobaczyć co tam się najczęściej pojawia.
Natomiast zawsze da się to zrobić obliczając wartości funkcji z tego układu, który podałam (tyle, że obliczenia mogą być bardzo pracoochłonne).

Twój wynik jest poprawny, więc myślę, że można go uznać za dobre rozwiązanie.