Ze wzorów redukcyjnych do postaci funkcji trygonometrycznych

[naukaposzlawlas]

Korzystając ze wzorów redukcyjnych podane wyrażenia zapisac w postaci funkcji trygonometrycznych kąta ostrego.
a) \(\displaystyle{ \sin \left( \frac{3 \pi }{2}- \alpha \right)}\)

b) \(\displaystyle{ \cos \left( \frac{5 \pi }{2} + \alpha \right)}\)

[bb314]

a)
\(\displaystyle{ \sin \left( \frac{3 \pi }{2}- \alpha \right)=\blue -\cos \alpha}\)

b)
\(\displaystyle{ \cos \left( \frac{5 \pi }{2} + \alpha \right)=\cos \left( 2\pi+\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos \left( \frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\ \blue -\sin \alpha}\)

Do tego służą wzory redukcyjne.

Trzeba wkuć:
\(\displaystyle{ \ \bl\fbox{\fbox{\ \mbox{w pierwszej wszystkie, w drugiej tylko sinus,\\w trzeciej tangens i cotangens a w czwartej cosinus}\ }}}\)

ta nieśmiertelna rymowanka mówi o tym, w której ćwiartce \(\displaystyle{ 360^\circ}\) która funkcja jest dodatnia
pierwsza ćwiartka jest wtedy, gdy kąt jest \(\displaystyle{ \ \left( 90^\circ-\beta \right)}\)
druga ćwiartka - \(\displaystyle{ \ \left( 90^\circ+\beta \right) \ \ \ \text{lub}\ \ \ \left( 180^\circ-\beta \right)}\)
trzecia - \(\displaystyle{ \ \left( 180^\circ+\beta \right) \ \ \ \text{lub}\ \ \ \left( 270^\circ-\beta \right)}\)
czwarta - \(\displaystyle{ \ \left( 270^\circ+\beta \right) \ \ \ \text{lub} \ \ \ \left( 0^\circ-\beta \right)}\)
przy czym nie ma znaczenia wielkość ani znak samego \(\displaystyle{ \ \beta}\)
to nam mówi jaki znak przyjmie funkcja lub kofunkcja po zredukowaniu kąta \(\displaystyle{ \ 0^\circ,\ 90^\circ,\ 180^\circ,\ lub\ 270^\circ}\)
przy redukowaniu kąta \(\displaystyle{ 90^\circ}\) lub \(\displaystyle{ 270^\circ}\) funkcja zmienia się na kofunkcję, tzn. \(\displaystyle{ \sin \ \to\ \cos ,\ \ \tg \ \to\ \ctg}\) i odwrotnie

przykład
\(\displaystyle{ \cos \left( 270^\circ-3241^\circ \right)}\)
kąt jest w trzeciej ćwiartce, w której cosinus jest ujemny, czyli bedzie znak minus
redukujemy kąt \(\displaystyle{ \ 270^\circ}\) więc funkcja zmieni się na przeciwną
ostatecznie
\(\displaystyle{ \cos \left( 270^\circ-3241^\circ \right) =-\sin 3241^\circ}\)

w naszym zadaniu
\(\displaystyle{ \cos \left( -\frac{ 4\pi }{3} \right) =\cos \left( 0-\frac{ 4\pi }{3} \right) =}\) - IV ćwiartka - kosinus jest dodatni, więc
\(\displaystyle{ =\cos \left( \frac{ 4\pi }{3} \right) =\cos \left( \pi+\frac{ \pi }{3} \right) =}\) - III ćwiartka - kosinus jest ujemny, więc
\(\displaystyle{ =-\cos \frac{\pi}{3}=-\frac12}\)

\(\displaystyle{ \sin \left( -\frac{ 4\pi }{3} \right) =\sin \left( 0-\frac{ 4\pi }{3} \right) =}\) - IV ćwiartka - sinus jest ujemny, więc
\(\displaystyle{ =-\sin \left( \frac{ 4\pi }{3} \right) =-\sin \left( \pi+\frac{ \pi }{3} \right) =}\) - III ćwiartka - sinus jest ujemny, więc
\(\displaystyle{ =-\left( -\sin \frac{ \pi }{3}\right) =+\sin \frac{\pi }{3} =\frac{\sqrt3}{2}}\)


Albo jeśli wolisz:

[naukaposzlawlas]

spoko, chodziło mi tylko o wyniki, dzięki