równania trygonometryczne

nowakczek · Post autor: **nowakczek** » 21 lis 2012, o 20:05

Jak by ktoś mógł napisać jak to rozwiązać ?
\(\displaystyle{ 3\sin ^{2}x + 2\sqrt{3}\sin x\cos x + \cos ^{2}x =1 \\
x \in\left\langle 0;2 \pi \right\rangle}\)

Lbubsazob · Post autor: **Lbubsazob** » 21 lis 2012, o 20:10

Zauważ, że \(\displaystyle{ 3\sin^2x+2\sqrt3\sin x\cos x+\cos^2x=\left( \sqrt3\sin x+\cos x\right) ^2}\).

nowakczek · Post autor: **nowakczek** » 21 lis 2012, o 20:25

do tego też doszedłem ale co dalej ?

Lbubsazob · Post autor: **Lbubsazob** » 21 lis 2012, o 20:46

\(\displaystyle{ \sqrt3\sin x+\cos x=2\left( \frac{\sqrt3}{2}\sin x+ \frac{1}{2}\cos x \right)=2\left( \cos 30^\circ \sin x+\sin 30^\circ \cos x\right)=\\=2\sin\left( x+\frac{\pi}{6}\right)=t}\)

A potem \(\displaystyle{ t^2=1 \Leftrightarrow t=1 \vee t=-1}\).