Udowodnij:
\(\displaystyle{ tg^{2}\frac{\pi}{12}+tg^{2}\frac{3\pi}{12}+tg^{2}\frac{5\pi}{12}=15}\)
udowodnić tożsamość.. 2
-
mostostalek
- Użytkownik
- Posty: 1384
- Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 33 razy
- Pomógł: 268 razy
-
baksio
- Użytkownik
- Posty: 464
- Rejestracja: 31 maja 2006, o 22:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zamość/Kraków
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 136 razy
udowodnić tożsamość.. 2
Zamienie radiany na stopnie żeby było lepiej widać:
\(\displaystyle{ tg^2(15) + tg^2(45) + tg^2(75)= 1 + tg^2(15) + ctg^2(15) = 1 + (tg15+ctg15)^2 -2 = 1 + (\frac{sin15}{cos15} + \frac{cos15}{sin15})^2 -2 = -1 + (\frac{1}{sin15cos15})^2 = -1 + (\frac{2}{sin30})^2= -1 + 16=15}\)
\(\displaystyle{ tg^2(15) + tg^2(45) + tg^2(75)= 1 + tg^2(15) + ctg^2(15) = 1 + (tg15+ctg15)^2 -2 = 1 + (\frac{sin15}{cos15} + \frac{cos15}{sin15})^2 -2 = -1 + (\frac{1}{sin15cos15})^2 = -1 + (\frac{2}{sin30})^2= -1 + 16=15}\)
-
mostostalek
- Użytkownik
- Posty: 1384
- Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 33 razy
- Pomógł: 268 razy
udowodnić tożsamość.. 2
Nieźle.. Ciekawy sposób...
Mam troszke inny:
obliczam wartość wyrażenia:
\(\displaystyle{ tg^2\frac{\pi}{12}=tg^2({\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6})=(\frac{tg\frac{\pi}{4}-tg\frac{\pi}{6}}{1+tg\frac{\pi}{4}\cdot tg\frac{\pi}{6}})^2=(\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}})^2=\frac{1-\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{3}}{1+\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=7-4\sqrt{3}}\)
w ostatnim przejściu mnożę oczywiście licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ (2-\sqrt{3})}\)
podobnie wyliczam wartość wyrażenia:
\(\displaystyle{ tg^2\frac{5\pi}{12}=tg^2({\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6})=(\frac{tg\frac{\pi}{4}+tg\frac{\pi}{6}}{1-tg\frac{\pi}{4}\cdot tg\frac{\pi}{6}})^2=(\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}})^2=\frac{1+\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{3}}{1-\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=7+4\sqrt{3}}\)
poza tym oczywiście:
\(\displaystyle{ tg^2\frac{3\pi}{12}=tg^2\frac{\pi}{4}=1}\)
po zsumowaniu otrzymuje:
\(\displaystyle{ 7-4\sqrt{3}+7+4\sqrt{3}+1=15}\)
Mam troszke inny:
obliczam wartość wyrażenia:
\(\displaystyle{ tg^2\frac{\pi}{12}=tg^2({\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6})=(\frac{tg\frac{\pi}{4}-tg\frac{\pi}{6}}{1+tg\frac{\pi}{4}\cdot tg\frac{\pi}{6}})^2=(\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}})^2=\frac{1-\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{3}}{1+\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=7-4\sqrt{3}}\)
w ostatnim przejściu mnożę oczywiście licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ (2-\sqrt{3})}\)
podobnie wyliczam wartość wyrażenia:
\(\displaystyle{ tg^2\frac{5\pi}{12}=tg^2({\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6})=(\frac{tg\frac{\pi}{4}+tg\frac{\pi}{6}}{1-tg\frac{\pi}{4}\cdot tg\frac{\pi}{6}})^2=(\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}})^2=\frac{1+\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{3}}{1-\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=7+4\sqrt{3}}\)
poza tym oczywiście:
\(\displaystyle{ tg^2\frac{3\pi}{12}=tg^2\frac{\pi}{4}=1}\)
po zsumowaniu otrzymuje:
\(\displaystyle{ 7-4\sqrt{3}+7+4\sqrt{3}+1=15}\)