Równania oraz wykresy

[Michal99]

Witam. Potrzebuję pomocy w paru zadaniach.

Rozwiązać równania w przedziale \(\displaystyle{ x \in \left\langle 0, 2 \pi\right\rangle}\)
\(\displaystyle{ \sin ^{2}x+ \cos x=1}\)

\(\displaystyle{ 2\sin ^{2}x- 2\sin^{2}x\cos x=1-\cos x}\)

\(\displaystyle{ \cos ^{2}x+ \sin x=1}\)

\(\displaystyle{ \cos ^{2}x+ \sin x cos ^{2}x= \frac{1+ \sin x}{4}}\)

Wyznaczyć zbiór wartości fukncji \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{3} \sin ^{2}x- \sqrt{3} \cos ^2{x}, x\in R}\) oraz funkcji \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{2} (\sin x + \cos x)^{2}}\)

Naszkicować wykres \(\displaystyle{ f(x)= \frac{\left| \cos 2x\right| }{\cos 2x}}\) oraz \(\displaystyle{ f(x)=\left| \sin x\right| - \sin x}\)

Dla jakich wartości \(\displaystyle{ \alpha \in \left\langle 0, \frac{ \pi }{2} \right\rangle}\) równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ x ^{2} \sin \alpha +x+ \cos \alpha =0}\)
oraz drugi podpunkt

\(\displaystyle{ \alpha \in \left\langle 0, \pi \right\rangle}\) równanie kwadratowe \(\displaystyle{ (2 \cos \alpha -1)x ^{2} -2x + \cos \alpha =0}\)

Prosiłbym o nie rozwiązywanie zadań, lecz o jak najdokładniejsze wyjaśnienie. Trygonometria nie jest moją silną stroną, więc z góry przepraszam za jakiekolwiek tzw. "byki".

[octahedron]

Korzystając z jedynki trygonometrycznej można zastąpić sinus cosinusem albo odwrotnie, tak żeby mieć tylko jedną funkcję we wzorze. Wtedy podstawiamy \(\displaystyle{ t=\sin x}\) lub \(\displaystyle{ t=\cos x,\,t\in[-1,1]}\) i mamy wielomian.

[Michal99]

Po dłuższym namyśle dałem sobie radę z tymi czterema równaniami. Jak wykonać kolejne zadania?

[octahedron]

W następnym wzory funkcji można łatwo uprościć.

[Michal99]

Nie rozumiem tego za bardzo, wyciągnę \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) przed nawias i co mam dalej robić? Nie mam zielonego pojęcia, ponieważ byłem nieobecny w ten dzień, a teraz próbuje zrozumieć.

[octahedron]

\(\displaystyle{ f(x)=-\sqrt{3}(\cos^2x-\sin^2x)=-\sqrt{3}\cos 2x}\)

[Michal99]

Raczej bez minusa przed pierwiastkiem z 3. Nie zdałem sobie sprawy, że trzeba to zastosować. W jaki sposób mam naszkicować wykres? Narysować funkcje w module oraz zwykłą? Ostatnie zadanie polega na obliczeniu delty z tego równania?

[octahedron]

Raczej z minusem. Moduł rozbijamy na dwa przypadki, zgodnie z jego definicją. W równaniu liczymy deltę. Trzeba tylko pamiętać o zakresie wartości sinusa i cosinusa.