rownanie hardcore

kloppix · Post autor: **kloppix** » 13 mar 2007, o 20:11

\(\displaystyle{ sin^8x+cos^5x=1}\)

Lady Tilly · Post autor: **Lady Tilly** » 13 mar 2007, o 20:43

A jakby to "zaczepić"z tej strony:
\(\displaystyle{ (1-2cos^{2}x+cos^{4})^{2}+cos^{5}x=1}\)

kloppix · Post autor: **kloppix** » 13 mar 2007, o 20:54

rada jak najbardziej poprawna ale skorzystac z niej to mi trudno...

bolo · Post autor: **bolo** » 14 mar 2007, o 00:27

Wszelkie bajery pominięte po drodze sobie uzupełnisz.

\(\displaystyle{ \sin^{8}{x}+\cos^{5}{x}=1 \\ \sin^{8}{x}+\cos^{5}{x}=\sin^{2}{x}+\cos^{2}{x} \\ \sin^{2}{x}(\sin^{6}{x}-1)=\cos^{2}{x}(1-\cos^{3}{x}) \\ -\cot^{2}{x}=\frac{\sin^{6}{x}-1}{\cos^{3}{x}-1} \\ -\cot^{2}{x}=\frac{(1-\cos^{2}{x})^{3}-1}{\cos^{3}{x}-1} \\ -\cot^{2}{x}=\frac{1-3\cos^{2}{x}+3\cos^{4}{x}-\cos^{6}{x}-1}{\cos^{3}{x}-1} \\ -\cot^{2}{x}=\frac{\cos^{2}{x}(3\cos^{2}{x}-3-\cos^{4}{x})}{\cos^{3}{x}-1} \\ \frac{1}{\sin^{2}{x}}=\frac{3\cos^{2}{x}-3-\cos^{4}{x}}{(1-\cos{x})(\cos^{2}{x}+\cos{x}+1)} \\ \frac{1}{1+\cos{x}}=\frac{3\cos^{2}{x}-3-\cos^{4}{x}}{\cos^{2}{x}+\cos{x}+1} \\ \cos^{2}{x}+\cos{x}+1=3\cos^{2}{x}-3-\cos^{4}{x}+3\cos^{3}{x}-3\cos{x}-\cos^{5}{x}}\)

Tymczasowo: \(\displaystyle{ t=\cos{x}}\).

\(\displaystyle{ t^{5}+t^{4}-3t^{3}-2t^{2}+4t+4=0}\)

Wielomian ten posiada pierwiastek, który nie należy do przedziału, który jest przeciwdziedziną funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\cos{x}}\), więc jedynymi pierwiastkami wyjściowego równania będą te punkty, które powinny być wykluczone gdzieś po drodze, np. przy dzieleniu, itd.

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 14 mar 2007, o 00:41

bolo napisał:

Itd... ten drugi wielomian albo na jakichś sztuczkach, albo Cardano w ostateczności. Ogólnie dużo pisania. Pewnie jest też jakiś inny zgrabniejszy sposób

mysle tak...: jak \(\displaystyle{ cos x q 1}\) , a wiec ten kosinus jest nieujemny...czyli
\(\displaystyle{ sin^8 x + cos^5 x q sin^2 x + cos^2 x =1}\)
....sin x =0 , cos x=1 ,...lub cos x= 0 itd

bolo · Post autor: **bolo** » 14 mar 2007, o 00:48

I na pewno jeszcze \(\displaystyle{ \sin{x}=1}\), \(\displaystyle{ \cos{x}=0}\). Po tych moich przekształceniach pewnie co nieco odpadnie, ale to już w rękach autora

[edit] Poprawiłem post, bo minus się zgubił po drodze, teraz już wiadomo, że będzie to \(\displaystyle{ x=2k\pi\quad\vee\quad x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\quad\vee\quad x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}}\).

kloppix · Post autor: **kloppix** » 14 mar 2007, o 16:15

hehe no widze ze faktycznei dosyc niemilo... moje mama

doszla do czegos takiego takiego:
\(\displaystyle{ sin^8x+cos^5x=1 \\
(sin^4x)^2-1+cos^5x=0 \\
(sin^4x-1)(sin^4x+1)+cos^5x=0 \\
(sin^2x-1)(sin^2x+1)(sin^4x+1)+cos^5x=0 \\
-cos^2x[(sin^2x+1)(sin^4x+1)-cos^3x]=0 \\
\\
-cos^2x=0 \vee (sin^2x+1)(sin^4x+1)-cos^3x=0 \\}\)
pierwsze wiadomo a drugie
\(\displaystyle{ sin^6x+sin^2x+sin^4x+1-cos^3x=0}\)
potegi przy sinusach sa parzyste wiec bedzie >= 0 ale musi byc rowne bo dodajemy te jedynke. Zatem -cos^3x musi się równać -1 a każdy z sinusów 0, a na osi znajdujemy taka sytuacje w miejscu Pi

luka52 · Post autor: **luka52** » 14 mar 2007, o 16:47

kloppix, Raczej dla 0 ->
\(\displaystyle{ -\cos^3{x} = -1\\
\cos{x} = 1\\
\ldots}\)