twierdzenie sinusow i cosinusow

[piotrekp]

Witam,

Prosilbym o rozwiazanie nastepujacych zadan:

1. Wykaz, ze trojkat, ktorego dlugosci bokow sa trzema kolejnymi wyrazami ciagu geometrycznego, miary katow zas trzema kolejnymi wyrazami ciagu arytmetycznego jest trojkatem rownobocznym.

2. Dlugosci bokow trojkata, ktorego jeden z katow ma miare 120*, tworza trzy kolejne wyrazy ciagu arytmetycznego. W jakim stosunku pozostaja dlugosci bokow tego trojkata?

Z gory dzieki badzo za pomoc

[ariadna]

1)
Boki:
\(\displaystyle{ a_{1}}\)
\(\displaystyle{ a_{1}q}\)
\(\displaystyle{ a_{1}q^{2}}\)
\(\displaystyle{ a_{1}>0}\), \(\displaystyle{ q\geqslant{1}}\)
Kąty
\(\displaystyle{ \alpha-r}\)
\(\displaystyle{ \alpha}\)
\(\displaystyle{ \alpha+r}\)
Suma kątów musi być 180, \(\displaystyle{ \alpha=60^{o}}\)
Zapiszmy twierdzenie sinusów dla tego trójkąta:
\(\displaystyle{ \frac{a_{1}}{sin(60-r)}=\frac{a_{1}q}{sin60}=\frac{a_{1}q^{2}}{sin(60+r)}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{sin(60-r)}=\frac{2q}{\sqrt{3}}=\frac{q^{2}}{sin(60+r)}}\)
Z pierwszej równości mamy:
\(\displaystyle{ q=\frac{\sqrt{3}}{2sin(60-r)}}\)
Z drugiej za to:
\(\displaystyle{ q=\frac{2sin(60+r)}{\sqrt{3}}}\)
Przyrównajamy:
\(\displaystyle{ \frac{3}{4}=sin(60-r)sin(60+r)}\)
\(\displaystyle{ \frac{3}{4}=(sin60cosr-cos60sinr)(sin60cosr+cos60sinr)}\)
\(\displaystyle{ \frac{3}{4}=\frac{3}{4}cos^{2}r-\frac{1}{4}sin^{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{3}{4}=\frac{3}{4}cos^{2}r-\frac{1}{4}(cos^{2}r-1)}\)
\(\displaystyle{ \frac{3}{4}=\frac{1}{2}cos^{2}r+\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ cos^{2}r=1}\)
\(\displaystyle{ r=0}\)-jedyne sensowne rozw.
A wtedy:
\(\displaystyle{ q=1}\) czyli wszystkie boki są równe.