wytłumacznie na podstawie zadania krok po kroku, rys. wykres

[unn4m3nd]

Witam
Czy mógłby mi ktoś krok po kroku opisać jak zrobić to zadanie, z tego względu że nie miałem tego w szkole, a sam nie potrafię tego ogarnąć.

Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x) = \cos ^2x-\sin x|\sin x|, x \in \left<-2 \pi; 2 \pi \right>.}\)
a) Narysuj wykres funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\).

Bardzo proszę o pomoc.
Pozdrawiam.

[mmoonniiaa]

Narysuj najpierw wykres funkcji \(\displaystyle{ y=\sin x}\) dla \(\displaystyle{ x \in \left\langle -2 \pi ; 2 \pi\right\rangle}\)
Dla jakich iksów z tego przedziału sinus jest dodatni, a dla jakich ujemny?
Zapisz wzór funkcji \(\displaystyle{ f}\) bez użycia modułu - coś będzie można uprościć.

[unn4m3nd]

1. No namalowałem ten wykres funkcji \(\displaystyle{ y=sinx}\)
2. dodatni jest dla \(\displaystyle{ <-2\pi; -\pi)}\) i dla \(\displaystyle{ (0; \pi)}\)

a ujemny dla \(\displaystyle{ (-\pi; 0)}\) i dla \(\displaystyle{ (\pi; 2\pi>}\)

3. Nie za bardzo rozumiem. Chodzi o wykorzystanie jedynki trygonometrycznej? Jak tak, to...
\(\displaystyle{ f(x) = 1-sin^2x-sinx|sinx|}\)

co dalej?

[mmoonniiaa]

Jedynka trygonometryczna przyda się później. Najpierw pozbądźmy się modułu.
\(\displaystyle{ f(x) = \cos^2 x-\sin x \left| \sin x \right| = \begin{cases} \cos^2 x-\sin x \cdot \sin x \text{ dla } x \in \left\langle -2\pi;-\pi\right\rangle \cup \left\langle 0;\pi \right\rangle \cup \left\{ 2\pi\right\} \\ \cos^2 x-\sin x \cdot \left( - \sin x\right) \text{ dla } x \in \left( -\pi;0\right) \cup \left( \pi;2\pi\right) \end{cases}}\)

[unn4m3nd]

Aha. Nie miałem pojęcia że wartość bezwzględna to "moduł". Tak więc z tego:
\(\displaystyle{ f(x) = \cos^2 x-\sin x \left| \sin x \right| = \begin{cases} \cos^2 x-\sin x \cdot \sin x \text{ dla } x \in \left\langle -2\pi;-\pi\right\rangle \cup \left\langle 0;\pi \right\rangle \cup \left\{ 2\pi\right\} \\ \cos^2 x-\sin x \cdot \left( - \sin x\right) \text{ dla } x \in \left( -\pi;0\right) \cup \left( \pi;2\pi\right) \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ =\begin{cases} 1-sin^2x-sin^2x\text{ dla } x \in \left\langle -2\pi;-\pi\right\rangle \cup \left\langle 0;\pi \right\rangle \cup \left\{ 2\pi\right\}\\1-sin^2x+sin^2x \text{ dla } x \in \left( -\pi;0\right) \cup \left( \pi;2\pi\right)\end{cases} = \begin{cases} 1-2sin^2x\text{ dla } x \in \left\langle -2\pi;-\pi\right\rangle \cup \left\langle 0;\pi \right\rangle \cup \left\{ 2\pi\right\}\\1\text{ dla } x \in \left( -\pi;0\right) \cup \left( \pi;2\pi\right)\end{cases}}\)

Podczas gdy z tą dopną częścią nie ma problemu, to jak narysować tą górną funkcję?

[mmoonniiaa]

Przyda się wzór na cosinus kąta podwojonego.

[unn4m3nd]

czyli rozumiem że teraz to górne równanie będzie wyglądać w ten sposób?
\(\displaystyle{ cos2x\text{ dla } x \in \left( -\pi;0\right) \cup \left( \pi;2\pi\right)}\)

ale nadal nie wiem jak namalować taki wykres. :c

[mmoonniiaa]

A dlaczego napisałeś, że dla \(\displaystyle{ x \in \left( -\pi;0\right) \cup \left( \pi;2\pi\right)}\)?

[unn4m3nd]

dobrze, pomyliłem się, skopiowałem z poprzedniego postu nie patrząc zbytnio co kopiuję.
ma być oczywiście \(\displaystyle{ \text{ dla } x \in \left\langle -2\pi;-\pi\right\rangle \cup \left\langle 0;\pi \right\rangle \cup \left\{ 2\pi\right\}}\)

proszę o wytłumaczenie jak namalować taki wykres. nigdy nie przerabiałem czegoś takiego jak cos lub sin kąta podwójnego...

[Ser Cubus]

\(\displaystyle{ \cos x}\) potrafisz pewnie namalować, wiadomo okres \(\displaystyle{ 2 \pi}\) i sobie leci

tak więc, \(\displaystyle{ \cos 2x}\) ma poprostu 2 razy krótszy okres, musisz go 'ścisnąć' tak aby pełny jego wykres zmieścił się w \(\displaystyle{ \pi}\), możesz też podstawiać za x znnane wartośc \(\displaystyle{ 0,5\pi}\) czy\(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\) itd, też wyjdzie

[mmoonniiaa]

Na pewno wiesz, ze okres funkcji \(\displaystyle{ \cos x}\) wynosi \(\displaystyle{ 2 \pi}\), natomiast inny będzie okres funkcji \(\displaystyle{ \cos 2x}\), tzn. wyniesie on \(\displaystyle{ \pi}\).

[unn4m3nd]

Rozumiem, że będzie to coś takiego:

(wykres namalowany długopisem)

Pytanie: Jak narysować wykres funkcji \(\displaystyle{ h(x)=3f(x)}\)? Czy w tym wypadku będzie to ta sama funkcja tyle że w przedziale (wartości) \(\displaystyle{ <-3\pi; 3\pi>}\) ?

[mmoonniiaa]

Wykres \(\displaystyle{ f\left( x\right)}\) dobrze narysowałeś.
Natomiast \(\displaystyle{ h(x)=3f(x)}\) to znaczy, że mnożysz wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\) przez \(\displaystyle{ 3}\). Zbiorem wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\) jest \(\displaystyle{ \left[ -1;1\right]}\), natomiast dla funkcji \(\displaystyle{ h}\) to będzie \(\displaystyle{ \left[ -3;3\right]}\)
Czyli tam gdzie np. było \(\displaystyle{ y=1}\), teraz będzie \(\displaystyle{ y=3}\), tam gdzie sięgało do \(\displaystyle{ y=-1}\) to teraz będzie \(\displaystyle{ y=-3}\), a tam gdzie było \(\displaystyle{ y=0,5}\), teraz będzie \(\displaystyle{ y=1,5}\). Rozumiesz?

[unn4m3nd]

Tak, o to właśnie mi chodziło w poprzednim poście.
Wielkie dzięki za pomoc! Jak coś to będę jeszcze pisał.
Pozdrawiam!