Wykaż że suma cos nx =...

[Grypho]

Wykaż że :

\(\displaystyle{ \cos x+\cos 2x+...+\cos nx=\frac{\sin \left( \frac{nx}{2} \right) \cos \left( \frac{ \left( n+1 \right) x}{2} \right) }{\sin \left( \frac{x}{2} \right) }}\)

posługując się wzorem
\(\displaystyle{ \frac{ e^{ix} + e^{-ix} }{2}=\cos x}\)

Lewą stronę przekształciłem do postaci

\(\displaystyle{ \frac{\cos x-\cos \left( n+1 \right) x+\cos nx-1}{2 \left( 1-\cos x \right) }}\)

Co teraz z tym zrobić? Probówałem z cosinusa sumy kątów, próbowałem jedynki rozpisywać na \(\displaystyle{ \cos 0}\) i z różnicy cosinusów ale sie zapętlałem w pewnej chwili. A może to przekształcenie już jest złe?

[opilo]

Spróbuj może indukcyjnie, dla II kroku indukcyjnego skorzystaj z wzoru na cosinus sumy kątów oraz podwojonego kąta cosinus i sinus

[Rogal]

Spróbuj z różnicy cosinusów dwa środkowe wyrazy, a \(\displaystyle{ \cos x}\) rozpisz ze wzoru na podwojony kąt, by dostać sinus połówki.

[Grypho]

Wolałbym właśnie nie z indukcji, tylko z wzorów
po użyciu zaproponowanych wzorów mam coś takiego
\(\displaystyle{ \frac{-\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{2nx+x}{2} }{2\sin \frac{x}{2} }}\)

Dół zaczyna wyglądać tak jak miał wyglądać, natomiast góra nie do końca... co tam zrobić? Rozpisywanie cosinusa sumy kątów tylko zwiększa mi ilość wyrazów, więc sie nie nadaje chyba.

EDIT: Znalazłem w pewnej książce identyczne zadanie z dopiskiem, żeby skorzystać ze wzoru de Moivre'a. W sumie pasowałoby mi to bo właśnie przerabiam zespolone, ale nie mam za bardzo pomysłu na to. Pomoże ktoś?

[Rogal]

Tylko zastanawia mnie, skąd we wzorze na różnicę cosinusów mógł pojawić Ci się cosinus? Przecież tam jest iloczyn dwóch sinusów.

[Grypho]

Oczywiście, źle spojrzałem
\(\displaystyle{ \frac{-\sin \frac{x}{2}-\sin \frac{2nx+x}{2} }{2\sin \frac{x}{2} }}\)

Doszedłem do \(\displaystyle{ \frac{-2 \sin^2 \frac{x}{2} sin \frac{x}{2} - \sin xcos \frac{x}{2} }{2\sin \frac{x}{2} }}\)

I znów stop, co teraz?

[Rogal]

Mój Boże, jak Ty to zrobiłeś? Albo nie, nie chcę wiedzieć. Skorzystaj ze wzoru na sumę sinusów i powinno wyjść to, co potrzebujesz.