oblicz sin, jeśli tg=

[malinko13]

Oblicz \(\displaystyle{ \sin \alpha + \frac{7 \pi }{4}}\) jeśli \(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{3}{2}}\)

[Vardamir]

\(\displaystyle{ \tg \alpha =\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha }}\)

I do tego cosinusa przedstaw jako sinus z jedynki trygonometrycznej.

[malinko13]

Hm...
Zatem wyszło mi coś takiego:
\(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha }{ \sqrt{1-\sin^{2} } }}\)
I nadal nie wiem jak to połączyć z tym co mam obliczyć.

[wujomaro]

\(\displaystyle{ \tg \alpha= \frac{\sin \alpha}{ \cos \alpha} \Rightarrow \sin \alpha= \tg \alpha \cdot \cos \alpha}\)

I teraz wstawiamy do jedynki trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ \sin^{2}x+ \cos^{2}x=1}\)
Zamias sinusa wstaw iloczyn tangensa i cosinusa.
Pozdrawiam!

[malinko13]

Wstawiłam. I wyliczyłam \(\displaystyle{ \cos \alpha}\), ale do rozwiązania się nie zbliżyłam.

[loitzl9006]

Jeżeli masz już obliczony cosinus, to sinusa znajdziesz, podstawiając obliczonego cosinusa do jedynki trygonometrycznej.
Tak w ogóle to trochę naokoło to wyszło, prościej byłoby wyliczyć od razu \(\displaystyle{ \sin \alpha}\):

\(\displaystyle{ \cos \alpha= \tg \alpha \cdot \sin \alpha \\ \\ \cos \alpha= \blue \frac32 \cdot \sin \alpha \black \\ \\ \sin^2 x + \cos ^2x =1 \\ \\ \sin^2 x + \blue \left( \frac32 \cdot \sin \alpha \right)^{2} \black =1}\)

Z tego równania wyznaczysz \(\displaystyle{ \sin \alpha}\) i masz odpowiedź (a w zasadzie dwie odpowiedzi).

[malinko13]

Ale \(\displaystyle{ \cos \alpha}\) to nie jest \(\displaystyle{ \tg \alpha \sin \alpha}\) tylko iloraz sinusa i tangensa ;]


Hm... wyszło mi, że \(\displaystyle{ \sin \alpha = \sqrt{ \frac{5}{3} }}\) I teraz nie wiem właściwie ani ile wynosi samo\(\displaystyle{ \alpha}\), ani to \(\displaystyle{ \sin2 \alpha + \frac{7 \pi }{4}}\)

Gdzie robię błąd? ;]

[loitzl9006]

Ale \(\displaystyle{ \cos \alpha}\) to nie jest \(\displaystyle{ \tg \alpha \sin \alpha}\) tylko iloraz sinusa i tangensa ;]

Oczywiście głupotę walnąłem.

Ale coś Ci ten sinus za duży (większy od \(\displaystyle{ 1}\) wychodzi).

Ja proponuję tak:

\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{2}{3} \sin \alpha \\ \\ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha =1 \\ \\ \sin^2 \alpha + \frac{4}{9} \sin^2 \alpha =1}\)

i dalej sobie już chyba dokończysz, powinno wyjść

\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{3}{ \sqrt{13} } \ \ \ \mbox{lub} \ \ \ \sin \alpha =- \frac{3}{ \sqrt{13} }}\)

A jak znasz \(\displaystyle{ \sin \alpha , \ \cos \alpha}\) to już możesz użyć wzoru na sinus \(\displaystyle{ 2 \alpha}\).

Samego \(\displaystyle{ \alpha}\) dokładnie nie wyznaczysz, bo sinus nie wychodzi "ładny".

Gdzie robię błąd? ;]

Stawiam na błędne podniesienie do kwadratu równania \(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{2}{3} \sin \alpha}\).

[malinko13]

Hm... Niby wszystko jest, ale:
Czy \(\displaystyle{ \sin2 \alpha + \frac{7 \pi }{4}}\) to to samo co \(\displaystyle{ \sin2 \alpha + \sin \frac{7 \pi }{4}}\)?

A jeśli nie, to jak to inaczej rozwiązać?

[Vardamir]

Hm... Niby wszystko jest, ale:
Czy \(\displaystyle{ \sin2 \alpha + \frac{7 \pi }{4}}\) to to samo co \(\displaystyle{ \sin2 \alpha + \sin \frac{7 \pi }{4}}\)?

A jeśli nie, to jak to inaczej rozwiązać?

Zaraz, to co my w końcu mamy liczyć? Wartość tego wyrażenia, kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) dla \(\displaystyle{ \sin2 \alpha + \frac{7 \pi }{4}}\) czy kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) dla \(\displaystyle{ \sin \alpha + \frac{7 \pi }{4}}\)

Przy czym te dwa ostatnie nie są możliwe bo to nie jest równanie. Nie wiem jak reszta, ale ja się zgubiłem.

[anna_]

W tym pierwszym poście nie powinno czasem być:
\(\displaystyle{ \sin \left( \alpha + \frac{7 \pi }{4}\right)}\) ?

[wujomaro]

No właśnie?

Bo zapis \(\displaystyle{ \sin \alpha + \frac{7 \pi}{4}}\) nie ma sensu...

Pozdrawiam!

[loitzl9006]

Zaś aby policzyć wartość \(\displaystyle{ \sin\left( \frac{7\pi}{4} \right)}\) to zapisz:
\(\displaystyle{ \sin \frac{7 \pi }{4} = \sin\left( 2 \pi - \frac{1}{4} \pi \right)}\)

i wykorzystaj odpowiedni wzór redukcyjny (jesteś w IV ćwiartce - sinus ujemny).

Nie wiem jak reszta, ale ja się zgubiłem.

Też