Wyznaczenie dziedziny oraz wyznaczenie sin

[marek252]

Witam.
Robię powtórkę przed maturą, ale nie za wiele pamiętam z tego działu. Jeśli ktoś miałby chwilę, to prosiłbym o pełne rozwiązanie tego zadania, z wyjaśnieniem najlepiej. Nie chcę wskazówek, proszę o rozwiązanie, chcę sobie przypomnieć jak to się robiło.
Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę funkcji \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{2 \pi -\left| x\right| }+ \sqrt{1-2\sin x} }}\)
Zadanie 2. \(\displaystyle{ x \in ( \frac{ \pi }{2}; \pi ), y \in ( \pi ; \frac{3 \pi }{2} )}\) oraz \(\displaystyle{ \sin x= \frac{3}{5}}\) \(\displaystyle{ , \cos y=- \frac{12}{13}}\) . Wyznacz \(\displaystyle{ \sin (x+y)}\)
Pozdrawiam

[loitzl9006]

Zadanie 1.
Wiadomo, że to co pod pierwiastkiem ma być \(\displaystyle{ \ge 0}\). Masz zatem dwa warunki do spełnienia:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2 \pi -|x| \ge 0 \\ 1-2\sin x \ge 0 \end{cases}}\)

Po przekształceniach pierwszy warunek będzie wyglądał tak:

\(\displaystyle{ |x| \le 2\pi}\)

A z tego wynika, że \(\displaystyle{ x \le 2 \pi \ \ \ \mbox{i} \ \ \ x \ge -2\pi}\)

czyli \(\displaystyle{ x \in \left\langle -2\pi ; 2\pi\right\rangle}\)

Teraz drugi warunek: po przekształceniach otrzymasz

\(\displaystyle{ \sin x \le \frac12}\)

Jak spojrzysz na wykres \(\displaystyle{ \sin x}\) dla \(\displaystyle{ x \in \left\langle -2\pi ; 2\pi\right\rangle}\) (ten przedział wziął się z pierwszego warunku) to zobaczysz, że sinus przyjmuje wartości mniejsze bądź równe \(\displaystyle{ \frac12}\) dla argumentów z przedziału \(\displaystyle{ \left\langle -2 \pi ;- \frac{11}{6} \pi \right\rangle \cup \left\langle - \frac{7}{6} \pi; \frac{1}{6} \pi \right\rangle \cup \left\langle \frac{5}{6} \pi; 2\pi \right\rangle}\). Żeby to sobie jakoś wyobrazić/zobrazować, to narysuj sobie układ współrzędnych, w nim wykres sinusa, a także wykres funkcji \(\displaystyle{ y=\frac12}\). Ta część wykresu sinusa, co leży pod prostą \(\displaystyle{ y=\frac12}\), jest rozwiązaniem zadania.

Zadanie 2.
Przyda się wzór \(\displaystyle{ \sin (x+y)=\sin x \cdot \cos y + \sin y \cdot \cos x}\)

Brakuje nam \(\displaystyle{ \sin y, \ \cos x}\). Wyznaczamy je ze wzorów : \(\displaystyle{ \sin ^2x+\cos^2x=1, \ \ \ \ \sin ^2y+\cos^2y=1.}\) Zauważ, że kąt \(\displaystyle{ x}\) należy do II ćwiartki układu współrzędnych, zaś \(\displaystyle{ y}\) - do III. Cosinus w drugiej ćwiartce jest ujemny, a sinus w trzeciej - też jest ujemny.

[marek252]

Zadanie pierwsze zrozumiałem. Natomiast w zadaniu drugim skąd wiemy do której ćwiartki należy kąt \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) ? Wiem, że w układzie współrzędnych ćwiartka I jest dla \(\displaystyle{ x \ge 0 \wedge y \ge 0}\) a następne to idziemy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Ale jak to się odnosi do naszego \(\displaystyle{ x}\)? Należy on do przedziału \(\displaystyle{ (90;180)}\) i co dalej?

[777Lolek]

Ee.. ano tak się odnosi, że ćwiartka dzieli kąt pełny równy \(\displaystyle{ 2\pi}\) na cztery równe częsci:
I ćwiartka: \(\displaystyle{ \left(0, \frac{\pi}{2}\right)}\)
II ćwiartka: \(\displaystyle{ \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)}\)
III ćwiartka: \(\displaystyle{ \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)}\)
IV ćwiartka: \(\displaystyle{ \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)}\)

narysuj sobie pusty układ współrzędnych i narysuj, zaczynając za każdym razem od osi \(\displaystyle{ OX}\) po prawej stronie osi \(\displaystyle{ OY}\) i idąc w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, kąty: \(\displaystyle{ 90^{\circ}, 180^{\circ}, 270^{\circ}, 360^{\circ}}\) . Zobaczysz to. Powinieneś.-- 16 lis 2012, o 01:12 --a jeśli chodzi o zależność znaku funkcji trygonometrycznej od ćwiartki w której znajduje się kąt, to:

W pierwszej wszystkie są dodatnie, w drugiej tylko sinus, w trzeciej tangens i cotangens, a w czwartej cosinus.

[marek252]

Ja to rozumiem tak: mamy jakiś kąt \(\displaystyle{ x}\) i w zależności jaką on ma miarę, czyli do której ćwiartki należy jego miara to wtedy sinus, cosinus, tangens i cotangens będą miały wartości albo dodatnie albo ujemne. Czyli:
x należy do I ćwiartki - wszystkie funkcje mają dodatnie wartości,
x do II ćw. - sinus dodatni, reszta ujemna,
x do III - tangens i cotangens dodatni, reszta ujemne,
x do IV - cosinus dodatni, reszta ujemne.
O to chodzi? Jeśli tak, to to już wiem, ale jakie znaczenie ma to w zadaniach? Chodzi o to, żeby zmienić znak w niektórych sytuacjach, dodać minus na początku? Wyjaśni ktoś na prostym przykładzie?

[777Lolek]

tak, o to właśnie chodzi. No może to być potrzebne w nierównościach po to żeby wiedzieć czy znak się zmienia czy nie. Przykład...
\(\displaystyle{ \tg x\le \sin x\cos x \ \ (D = \RR \setminus \{k\pi\} \ k\in \ZZ )}\) - nie możemy tu pomnożyć po prostu stronami przez cosinus (schowany w tangensie), bo znak może się zmieniać. Zatem mnożymy przez kwadrat mianownika, co zapewni nam ten sam znak po działaniu. Zatem \(\displaystyle{ \tg x\le \sin x\cos x \Leftrightarrow \sin x\cos x\le \sin x\cos^2x \Leftrightarrow \sin x\cos^2x - \sin x\cos x \ge 0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \sin x\cos x(\cos x - 1)\ge 0 \hbox{ itd...}}\)

Może to być potrzebne także bezpośrednio przy wyznaczaniu dziedziny, np. \(\displaystyle{ f(x) = \sqrt{\sin x}}\) . Dziedzinę określa nam nierówność \(\displaystyle{ \sin x\le 0}\) i tu patrzymy w której ćwiartce sinus jest dodatni. W I i II, zatem \(\displaystyle{ D = \langle 0+2k\pi, \pi+2k\pi \rangle \ k\in \ZZ}\)

[marek252]

W pierwszym przykładzie nie powinno być tak?
\(\displaystyle{ \tg x\le \sin x\cos x \Leftrightarrow \sin x\cos x\le \sin x\cos^3x}\)
Natomiast w drugim przykładzie podałbym:
\(\displaystyle{ D=\left\langle 0;2 \pi \right\rangle}\)

[777Lolek]

W 1. oczywiście, tak powinno być:) no ale dalsze rozumowanie takie samo.
W 2. nie. Dlaczego? Przecież sinus jest funkcją okresową o okresie \(\displaystyle{ 2\pi}\) , zatem tam na pewno pojawi się jakieś \(\displaystyle{ 2k\pi}\) . Ponadto, no właśnie, jeśli ma okres \(\displaystyle{ 2\pi}\) w którym przyjmuje wszystkie wartości z przedziału \(\displaystyle{ \langle -1, 1\rangle}\) , to dlaczego twierdzisz że w całym jednym okresie jest zawsze nieujemny?
Sinus jest dodatni w pierwszej i drugiej ćwiartce, i nieujemny dla kąta \(\displaystyle{ 0}\) oraz \(\displaystyle{ \pi}\) , zatem nieujemny w przedziale \(\displaystyle{ \langle 0, \pi \rangle}\) . Ponadto, sinus jest funkcją okresową o okresie \(\displaystyle{ 2\pi}\) , zatem \(\displaystyle{ \sin(\alpha + 2\pi) = \sin\alpha}\) oraz \(\displaystyle{ \sin(\alpha + 2k\pi) = \sin\alpha \ \hbox{ dla } \ k\in \ZZ}\) , więc \(\displaystyle{ \sin x\le 0 \ \hbox{ dla } \ \langle 0 + 2k\pi, \pi + 2k\pi \rangle}\) czyli równoznacznie \(\displaystyle{ D = \langle 2k\pi, (2k+1)\pi \ , \ k\in \ZZ}\)

[marek252]

Racja pomyliłem się. Chodziło mi o to, że będzie tam przedział I i II ćwiartka (od 0 do 180 stopni, bo tam sinus jest dodatni) i razy wielokrotność, bo ta funkcja jest okresowa. To co pod pierwiastkiem ma być większe bądź równe zero, a Ty napisałeś, że mniejsze bądź równe, dlaczego? Chyba tak będzie:
\(\displaystyle{ D=\left\langle 0;\pi \right\rangle \cup \left\langle 2 \pi ;3 \pi \right\rangle \cup \left\langle 4 \pi ;5 \pi \right\rangle itd...}\)

[777Lolek]

tak, tak będzie, i ciągle tak pisałem, że tak będzie. \(\displaystyle{ D = \langle 0+2k\pi, \pi + 2k\pi \rangle \ , \ k\in \ZZ}\) .

A to że \(\displaystyle{ \sin \le 0}\) pisałem przez pomyłkę. Ostatnio często myli mi sie 'ge' z 'le' Oczywiście \(\displaystyle{ \sin x\ge 0}\) . Ale tak czy owak dziedzinę pisałem dobrą.

Pzdr

edit. i znowu pomyliłem:D już zedytowane.

[marek252]

Ostatnie pytanie. Czy te dwa zapisy są równoważne? Jakoś nie mogę tego załapać.
mój:
\(\displaystyle{ D=\left\langle 0;\pi \right\rangle \cup \left\langle 2 \pi ;3 \pi \right\rangle \cup \left\langle 4 \pi ;5 \pi \right\rangle itd...}\)
Twój:
\(\displaystyle{ D = \langle 0+2k\pi, \pi + 2k\pi \rangle \ , \ k\in \ZZ}\)
I jakie liczby oznaczamy przez \(\displaystyle{ \ZZ}\) ?

[777Lolek]

\(\displaystyle{ \ZZ}\) - zbiór liczb całkowitych.

a skoro \(\displaystyle{ k\in \ZZ}\) to także \(\displaystyle{ k}\) może być mniejsze od \(\displaystyle{ 0}\) , czego Ty nie uwzględniłeś. Moim zdaniem bezpieczniejszy jest "mój" zapis.

[marek252]

Racja, nie uwzględniłem tego, ale już rozumiem. Dzięki Wam za pomoc.