Uzasadnij tożsamość trygonometryczną.

[BarSlo]

Witam.
Proszę o sprawdzenie poprawności rozwiązania.

\(\displaystyle{ \sin ^{4} \alpha +\cos ^{4} \alpha =1- \frac{1}{2}\sin ^{2}2 \alpha}\)

\(\displaystyle{ \left(\sin ^{2} \alpha +\cos ^{2} \alpha \right)\left(\sin ^{2} \alpha +\cos ^{2} \alpha \right)-2\sin ^{2} \alpha \cos ^{2} \alpha=1- \frac{1}{2}\left( 4\sin ^{2} \alpha \cos ^{2} \alpha\right)}\)

\(\displaystyle{ 1-2\sin ^{2} \alpha \cos ^{2} \alpha =1-2\sin ^{2} \alpha \cos ^{2} \alpha}\)

[MichalPWr]

Jest ok.

[BarSlo]

A ten przykład.

\(\displaystyle{ \sin ^{4} \alpha -\cos ^{4} \alpha = \sin ^{2} \alpha -\cos ^{2} \alpha}\)

\(\displaystyle{ \left( \sin ^{2} \alpha -\cos ^{2} \alpha\right) \left( \sin ^{2} \alpha +\cos ^{2} \alpha\right)=\sin ^{2} \alpha -\cos ^{2} \alpha}\)

\(\displaystyle{ \sin ^{2} \alpha -\cos ^{2} \alpha=\sin ^{2} \alpha -\cos ^{2} \alpha}\)

[MichalPWr]

Dobrze

[BarSlo]

A teraz mam rozwiązać równanie trygonometryczne.

\(\displaystyle{ \sin ^{2} \alpha +\cos \alpha \sin \alpha =0}\)

i nie wiem, co zrobić z tym cosinusem i sinusem ?

[777Lolek]

wyciągnij sinus przed nawias. Kiedy taki iloczyn może być równy \(\displaystyle{ 0}\) ?

[BarSlo]

tak tak już sobie poradziłem.

\(\displaystyle{ \sin \alpha \left( \sin \alpha +\cos \alpha \right)=0
\Rightarrow}\)

\(\displaystyle{ \sin \alpha =0 \Rightarrow x=k \pi \vee \sin \alpha +\cos \alpha=0 \Rightarrow}\)

\(\displaystyle{ \cos \alpha =\cos\left( \frac{ \pi }{2}- \alpha \right)}\)

ale teraz już nie wiem co

[777Lolek]

ja bym zostawił sinusa. \(\displaystyle{ \sin\alpha = -\cos\alpha \wedge \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \Rightarrow ?}\)