Nierówności cyklometryczne

[matematyczka222]

Witam, mam prośbę o pomoc w rozwiazaniu wraz ze wskazówkami nierówności cyklometrycznych.

1) \(\displaystyle{ \arccos \frac{2x-1}{x+1} \ge \arccos 2x}\)
2) \(\displaystyle{ \arcsin \left[ \left( \frac{1}{2}\right)^x-1 \right] < \arcsin \frac{1}{4}}\)
3) \(\displaystyle{ \arccos (8x+2)< \arccos 4x}\)
4) \(\displaystyle{ |\arcsin 2x|\ge \frac{\pi}{3}}\)
5) \(\displaystyle{ \arccos \left( \log_{\frac{1}{2}}2x \right) < \frac{5}{6\pi}}\)

[bb314]

1)
\(\displaystyle{ \arccos \frac{2x-1}{x+1} \ge \arccos 2x}\)

najsamwpierw trzeba ustalić dziedzinę
argument funkcji arkuskosinus \(\displaystyle{ \in\langle-1,\ 1\rangle}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -1\le\frac{2x-1}{x+1}\le1 \\ -1\le2x\le1 \end{cases}}\)

funkcja arkuskocinus jest malejąca, więc
\(\displaystyle{ \arccos \frac{2x-1}{x+1} \ge \arccos 2x\ \ \ \to\ \ \ \frac{2x-1}{x+1} \le2x}\)