Wyznacz Dziedzinę

[Jaszczer]

1. \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{\cos x }+ \sqrt{6x- x^{2} }}\)
2. \(\displaystyle{ f(x)=\log(\cos(\log x))}\)
3. \(\displaystyle{ f(x)=\log(\sin \frac{ \pi }{x})}\)
4. \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{\sin \sqrt{x} }}\)

[mmoonniiaa]

A gdzie pojawia się problem? Co musi być pod pierwiastkiem? Jaka musi być liczba logarytmowana? Jaki nie może być mianownik?

[Jaszczer]

Wiem jakie mają być założenia z definicji, mam problem w rozwiązaniu tych nierówności, które otrzymamy.

[mmoonniiaa]

No to pokaż, jakie masz te nierówności, pomożemy je rozwiązać.

[Jaszczer]

1. \(\displaystyle{ \cos x \ge 0 \wedge 6x- x^{2} \ge 0}\)
2. \(\displaystyle{ \cos(\log x)>0}\)
3. \(\displaystyle{ \sin \frac{ \pi }{x}>0 \wedge x \neq 0}\)
4. \(\displaystyle{ \sin \sqrt{x} \ge 0 \wedge x \ge 0}\)

[mmoonniiaa]

Zgadza się.
I teraz powiedz, z którą nierównością masz problem?
1. Cosinus jakiego kąta jest równy zero? Druga nierówność jest nierównością kwadratową, wystarczy wyłączyć \(\displaystyle{ x}\) przed nawias
2. Tu ponownie - cosinus jakiego kąta jest równy zero?
3. Tym razem - sinus jakiego kąta jest równy zero?
4. Zrób podstawienie \(\displaystyle{ \sqrt{x}=t \ge 0}\)

[Jaszczer]

No tak tylko później trzeba wyznaczyć część wspólną w I przykładzie i to mi nie wychodzi. W II mam przedział dla cosinusa i jak to przyrównać do \(\displaystyle{ \log x}\). W III mam \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{x}>k \pi \vee \frac{ \pi }{x} < \pi+k \pi,}\) dzieląc przez \(\displaystyle{ \pi}\) zostanie samo \(\displaystyle{ k}\), tak będzie wyglądać odpowiedź?

[mmoonniiaa]

2. Taki zapis jest dla Ciebie zrozumiały?
\(\displaystyle{ \cos(\log x)>0 \\
- \frac{\pi}{2}+2k \pi<\log x < \frac{\pi}{2}+2k \pi \\
\log 10 ^{- \frac{\pi}{2}+2k \pi} < \log x < \log 10^{\frac{\pi}{2}+2k \pi} \\
10 ^{- \frac{\pi}{2}+2k \pi} < x < 10^{\frac{\pi}{2}+2k \pi} \\
\left( \frac{1}{10} \right) ^{ \frac{\pi}{2}-2k \pi} < x < 10^{\frac{\pi}{2}+2k \pi} \\
x \in \left( \left( \frac{1}{10} \right) ^{ \frac{\pi}{2}-2k \pi} ; 10^{\frac{\pi}{2}+2k \pi}\right)}\)

Dodatkowym założeniem było jeszcze \(\displaystyle{ x>0}\)

3. Powinieneś mieć koniunkcję, oraz \(\displaystyle{ 2 \pi}\) zamiast \(\displaystyle{ \pi}\). Poza tym nie dzielisz przez \(\displaystyle{ \pi}\) tylko sprowadzasz do wspólnego mianownika:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{\pi}{x}>2k \pi \\ \frac{\pi}{x} < \pi + 2k \pi \end{cases}}\)

[Jaszczer]

Nie za bardzo rozumiem dlaczego zamieniłaś \(\displaystyle{ - \frac{\pi}{2}+2k\pi<\log x}\) na \(\displaystyle{ \log 10 ^{- \frac{\pi}{2} +2k\pi}}\)

[mmoonniiaa]

Korzystam z tego, że:
\(\displaystyle{ \log_a b^c=c \log_a b}\)

\(\displaystyle{ \log 10 ^{- \frac{\pi}{2} +2k\pi}=\left( - \frac{\pi}{2} +2k\pi\right) \cdot \log 10=\left( - \frac{\pi}{2} +2k\pi\right) \cdot 1=- \frac{\pi}{2} +2k\pi}\)