równość cyklometryczna

[kielon89]

Wykaż, że \(\displaystyle{ \forall x\in \RR}\) zachodzi:

\(\displaystyle{ \arctan x=\arcsin \left( \frac{x} {\sqrt{1+x^{2}}} \right)}\)

Przekształcam, przekształcam i do żadnych konkretnych wniosków nie dochodzę, ktoś ma pomysły?

[Gadziu]

Po przekształcaj dobrze to wyjdzie:) Zrób sobie podstawienie z t. Czyli
\(\displaystyle{ \arctg x=t \wedge t \in \left[ - \frac{ \pi }{2}; \frac{ \pi }{2} \right]}\)
\(\displaystyle{ \tg t=x}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sin t}{\cos t}=x}\)
Dalej wylicz \(\displaystyle{ \cos t}\) z jedynki tryg. Wstaw do tg, podnieś do kwadratu, po przekształcaj aż uzyskasz samego \(\displaystyle{ \sin t}\) i wtedy arcusem go i już:)

[kielon89]

Czyli tak:

\(\displaystyle{ \arctan x=t}\)

\(\displaystyle{ \tg t=x}\)

\(\displaystyle{ \frac{\sin t}{\cos t}=x}\)

\(\displaystyle{ \frac{\sin t}{\sqrt{1-\sin ^{2}t}}=\tg t}\)

\(\displaystyle{ \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}=x}\)

kurde widzę że jestem blisko ale czegoś mi tutaj brakuje, no i ten minus po pierwiastkiem mi wadzi.

[kropka+]

Twoje ostatnie przekształcenie jest bez sensu. Robimy tak:

\(\displaystyle{ \frac{\sin t}{\sqrt{1-\sin ^{2}t}}=\tg t=x \\ \\
\frac{\sin ^{2}t }{1-\sin ^{2}t }=x ^{2} \\ \\
\sin ^{2}t=x ^{2}-x ^{2}\sin ^{2}t \\ \\
\sin ^{2}t(1+x ^{2})=x ^{2} \\ \\
\sin ^{2}t= \frac{x ^{2} }{1+x ^{2} } \\ \\
\sin t= \frac{x}{ \sqrt{1+x ^{2} } } \\ \\
\arcsin \frac{x}{ \sqrt{1+x ^{2} } }=t=\arctg x}\)

[Qń]

Alternatywny sposób: można sprawdzić, że pochodne obu stron są takie same, co w połączeniu z faktem, że obie strony mają taką samą wartość na przykład w zerze - dowodzi równości.

Q.

[kielon89]

Dzięki, widzę, że to kwestia przekształcania. Co do pochodnych to jestem na pierwszym semestrze z Analizy i nie wolno mi ich tykać