Równanie zawierające dwie funkcje

[Moni_94]

Wiem że pewnie dla niektórych to proste ale proszę o sprawdzenie do dopiero stawiam pierwsze kroki
\(\displaystyle{ \cos ^{2} x = \sin x \cdot \frac{1}{2 \tg x}}\)

A więc najpierw zrobiłam założenie że:\(\displaystyle{ x \neq \frac{ \pi }{2} + k \pi}\)

\(\displaystyle{ \cos ^{2} x = \sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}}\)

I z tego mi wyszło ostatecznie
\(\displaystyle{ \cos ^{2} x - \frac{1}{2} \cos x = 0}\)

\(\displaystyle{ \cos x ( \cos x - \frac{1}{2} ) = 0}\)
\(\displaystyle{ \cos x = 0}\) ale tutaj nie pasuje bo nie zgadza się z założeniem

A więc:
\(\displaystyle{ \cos x = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ x = \frac{ \pi }{3} + 2k \pi}\) \(\displaystyle{ k \in C}\)
\(\displaystyle{ x= 2 \pi - \frac{ \pi }{3} + 2k \pi = \frac{5}{3} \pi + 2k \pi}\)

[kropka+]

A więc:
\(\displaystyle{ \cos x = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ x = \frac{ \pi }{3} + 2k \pi}\) \(\displaystyle{ k \in C}\)
\(\displaystyle{ x= 2 \pi - \frac{ \pi }{3} + 2k \pi = \frac{5}{3} \pi + 2k \pi}\)

Edit.
Klasyczny zapis jest taki:

\(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{3}+2k \pi \vee x= - \frac{ \pi }{3}+ 2k \pi \ k \in C\\}\)

[loitzl9006]

A ja uważam że rozwiązanie
\(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{3}+2k\pi \\ x= 2 \pi - \frac{ \pi }{3} + 2k \pi = \frac{5}{3} \pi + 2k \pi; \ k \in C}\)
jest prawidłowe.

Uwaga na dziedzinę: nie wystarczy warunek \(\displaystyle{ \cos x \neq 0}\). W mianowniku masz tangensa, a tangens jest równy zero gdy sinus jest równy zero, także jeszcze warunek \(\displaystyle{ \sin x \neq 0}\). Dobrze o tym pamiętać (choć akurat w naszym przykładzie bez konsekwencji).

[kropka+]

loitzl9006, masz rację. Już poprawiłam. A dziedzina to \(\displaystyle{ x \neq k \frac{ \pi }{2}}\)

[Moni_94]

A jeżeli ja zapiszę dziedzinę
\(\displaystyle{ x \neq = \frac{ \pi }{2} + k \pi}\)
oraz
\(\displaystyle{ x \neq k \pi}\)

To tak też może być czy nie??
A nie dobra już czaję