trygonometria - postać iloczynowa

[szymihej]

Witam nie wiem do końca jak rozwiązać zad., w którym musimy sprowadzić do postaci iloczynowej wyrażenie
a) \(\displaystyle{ \sin x + \sin 3x + \sin 5x}\). Doszedłem do tego, że: \(\displaystyle{ \sin 3x(2\cos 2x + 1)}\)
b) \(\displaystyle{ \cos x + \cos 3x + \cos 5x}\) i tu doszedłem do: \(\displaystyle{ \cos 3x(2\cos 2x + 1)}\)

[anna_]

Ja bym to tak zostawiła. To już jest iloczyn.

[szymihej]

No właśnie nauczyciel mi tego nie uzna, ponieważ jest suma w nawiasie. Muszą być tylko iloczyny.

[anna_]

Ale przecież ten otrzymany zapis to iloczyn dwóch czynników \(\displaystyle{ \sin 3x}\) i \(\displaystyle{ (2\cos 2x + 1)}\)

-- dzisiaj, o 19:32 --

wolframalpha pokazuje, że tam powinno być:

Kod: Zaznacz cały

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Csin+x+%2B+%5Csin+3x+%2B+%5Csin+5x

[777Lolek]

Nie sądzę żeby to w ogóle można było zapisać w postaci samego mnożenia nie korzystając z jakiejś wyższej matematyki, o ile w ogóle można. \(\displaystyle{ \sin 3x(2\cos 2x + 1)}\) to z całą pewnością postać iloczynowa.

[szymihej]

a co dałoby się zrobić jeszcze w tym nawiasie?

[anna_]

Można zamienić \(\displaystyle{ \cos 2x}\) na \(\displaystyle{ 1-2\sin^2 x}\) ale to niewiele zmieni

[777Lolek]

hmm.
\(\displaystyle{ \sin 3x = \sin (2x + x)}\)
skorzystaj z sinusa sumy kątów i wszystkie \(\displaystyle{ \sin 2x}\) oraz \(\displaystyle{ \cos 2x}\) zamieniaj na jakieś funkcje trygonometryczne kąta \(\displaystyle{ x}\) . Powinieneś dostać:

\(\displaystyle{ \sin 3x = \sin x(4\cos^2 x - 1)}\)

zatem
\(\displaystyle{ \sin 3x(2\cos 2x + 1) = \sin x(4\cos^2 x - 1)(2\cos 2x + 1) =\\ = \sin x(4\cos^2 x - 1)(2(2\cos^2x - 1) + 1) = \sin x(4\cos^2 x - 1)(4\cos^2 x - 1) = \\ = \sin x(4\cos^2 x - 1)^2 = \sin x\left[(2\cos x + 1)(2\cos x - 1)\right]^2}\)

Może to się Twojemu nauczycielowi spodoba bardziej :p

[wojtulus]

wyciągnij \(\displaystyle{ 2}\) przed nawias i zamiast jedynki bedziesz miał \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) a to jest sinus \(\displaystyle{ 30}\) stopni badz cosinus \(\displaystyle{ 60}\) a dalej skorzystaj z wzoru \(\displaystyle{ \sin x + \sin y = \ldots}\) badz \(\displaystyle{ \cos x + \cos y = \ldots}\)