równianie trygonometryczne

[matos94]

\(\displaystyle{ \frac{ \sin ^{2}x - \sin x }{\tg x} = 0}\)

wychodzi mi sprzecznosci, bo dziedzina wyklucza wszystko, rozwiąże ktoś ?

[macik1423]

\(\displaystyle{ D: x \neq k \pi}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \sin^{2} x - \sin x }{\tg x} = 0}\)
\(\displaystyle{ \sin^{2} x - \sin x=0}\)

\(\displaystyle{ \sin x(\sin x-1)=0}\)

\(\displaystyle{ \sin x=0 \vee \sin x=1}\)

\(\displaystyle{ (x=k \pi \vee x= \frac{\pi}{2}+2k \pi) \wedge x \in D}\)

\(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{2}+2k \pi}\)

[matos94]

aaa, no bo ja wyznaczylem dziedzine, ze \(\displaystyle{ \tg x}\) różny od \(\displaystyle{ 0}\), i \(\displaystyle{ x}\) różny \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2} +k \pi}\), dlaczego tak nie jest?

[loitzl9006]

W mianowniku masz iloraz sinusa i cosinusa, a więc sinus nie może być \(\displaystyle{ 0}\) bo wtedy tangens będzie \(\displaystyle{ 0}\). Ale też cosinus nie może być zero, bo mianownik w mianowniku będzie zero. Zatem dziedzina to:

\(\displaystyle{ \sin x \neq 0 \ \ \ \mbox{i} \ \ \ \cos x \neq 0 \\ \\ x \neq k \pi \ \ \ \mbox{i} \ \ \ x \neq \frac{ \pi }{2} +k \pi \ \ \Rightarrow \ \ \blue x \neq \frac{k \pi }{2} \black \ \\ \\ \\ \\ \frac{ \sin ^{2}x - \sin x }{\tg x} = 0 \ \Rightarrow \ \sin ^{2}x - \sin x=0 \\ \\ \sin x\left( \sin x-1\right) =0 \\ \\ \sin x=0 \ \ \ \mbox{lub} \ \ \ \sin x-1=0 \\ \\ \sin x=0 \ \ \ \mbox{lub} \ \ \ \sin x=1}\)

zatem matos94 dobrze Ci wyszło - równanie nie ma rozwiązań.

[macik1423]

Dziwne trochę bo wolfram i derive podaje rozwiązanie.

[loitzl9006]

Faktycznie wolfram podaje rozwiązanie, ale przecież tangens \(\displaystyle{ 90^\circ}\) nie istnieje. Na razie upieram się przy swoim.