Obliczanie wartości funkcji cyklometrycznych

[kainta]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania:

\(\displaystyle{ y=\arcsin \left( \cos \frac{13 \pi }{8} \right)}\)

zaczęłam przekształcać cosinusa w taki sposób, że:

\(\displaystyle{ \cos \frac{13 \pi }{8} = \sin \left( \frac{ \pi }{2} - \frac{13 \pi }{8} \right) = \sin \left( \frac{-9 \pi }{8} \right)}\)

ale nie wiem czy nie pomyliłam znaków przy wzorze redukcyjnym... Mam problem z określaniem dziedziny takich funkcji i nie wiem do jakiego kąta muszę doprowadzić tego sinusa, żeby później mógł mi się swobodnie wyeliminować arcsinus z sinusem :/ Mógłby ktoś mi wytłumaczyć na czym to polega?

[777Lolek]

dobrze przekształciłaś, ale lepiej to przenieść o \(\displaystyle{ 2\pi}\) w prawo, korzystając z okresowości sinusa: \(\displaystyle{ \sin \frac{-9\pi}{8} = \sin \frac{7\pi}{8}}\)
zatem \(\displaystyle{ y = \arcsin \left(\sin \frac{7\pi}{8}\right)}\)

Dziedziny? a masz tu jakieś niewiadome?

[kainta]

I to już mogę zapisać, że to się równa 7pi/8 tak? Nie mam niewiadomych, fakt
I jeszcze jedno: jest jakiś przedział kątów dla których mogę kasować już arcsin i sin? Czy to po prostu się robi, żeby "ładniej wyglądało" ?

Dziękuję bardzo za pomoc

[777Lolek]

Nie no to chyba nie takie proste :p

\(\displaystyle{ f(x) = y = \arcsin (\sin x) = x \ \hbox{ dla } \ x\in \left\langle -\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right\rangle}\)

a my mamy do czynienia z \(\displaystyle{ x \in \left\langle \frac{\pi}{2} , \frac{3\pi}{2} \right\rangle}\) .
Zatem \(\displaystyle{ g(x) = \sin x \ \ , \ \ g: \left\langle \frac{\pi}{2} , \frac{3\pi}{2} \right\rangle \rightarrow \langle -1, 1\rangle}\)

Niech \(\displaystyle{ t = x - \pi \Rightarrow t\in \left\langle -\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right\rangle}\)

\(\displaystyle{ x = t + \pi}\)

\(\displaystyle{ y = \sin x = \sin (t + \pi) = -\sin t \Leftrightarrow \sin t = -y}\)

Zatem \(\displaystyle{ t = \arcsin (-y) = -\arcsin y}\)

A skoro \(\displaystyle{ x = t + \pi}\) , to \(\displaystyle{ x = \pi - \arcsin y}\)

więc \(\displaystyle{ g^{-1}(x) = y = \pi - \arcsin x \ \ , \ \ g^{-1} : \langle -1, 1\rangle \rightarrow \left\langle \frac{\pi}{2} , \frac{3\pi}{2} \right\rangle}\)


zatem nasz \(\displaystyle{ y = \arcsin \left(\sin \frac{7\pi}{8}\right) = \pi - \frac{7\pi}{8} = \frac{\pi}{8}}\)


Daję temu 70% mojej pewności za przeproszeniem.-- 3 lis 2012, o 19:01 --Wolframalpha się zgadza z wynikiem.